ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
![]() |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи Сколько существует пятизначных чисел, получаемых из числа 12345 перестановкой цифр и у которых чётные цифры не стоят рядом? Точки A, B и O не лежат на одной прямой. Проведите через
точку O прямую l так, чтобы сумма расстояний от нее до точек A
и B была: а) наибольшей; б) наименьшей.
|
Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 81]
Возрастающая последовательность натуральных чисел a1<a2<… такова, что при каждом целом n>100 число an равно наименьшему натуральному числу, большему чем an−1 и не делящемуся ни на одно из чисел a1,a2,…,an−1. Докажите, что в такой последовательности лишь конечное количество составных чисел.
В пространстве дан треугольник ABC и сферы S1 и S2, каждая из которых проходит через точки A, B и C. Для точек M сферы S1, не лежащих в плоскости треугольника ABC, проводятся прямые MA, MB и MC, пересекающие сферу S2 вторично в точках A1, B1 и C1 соответственно. Докажите, что плоскости, проходящие через точки A1, B1 и C1, касаются фиксированной сферы либо проходят через фиксированную точку.
Углы AOB и COD совмещаются поворотом так, что луч OA совмещается с лучом OC, а луч OB – с OD. В них вписаны окружности, пересекающиеся в точках E и F. Доказать, что углы AOE и DOF равны.
Пете и Васе подарили одинаковые наборы из N гирь, в которых массы любых двух гирь различаются не более, чем в 1,25 раз. Пете удалось разделить все гири своего набора на 10 равных по массе групп, а Васе удалось разделить все гири своего набора на 11 равных по массе групп. Найдите наименьшее возможное значение N.
В треугольнике ABC проведены высоты AHA и BHB. Прямая HAHB пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках P и Q. Точка A′ симметрична точке A относительно BC, точка B′ симметрична точке B относительно CA. Докажите, что A′,B′, P, Q лежат на одной окружности.
Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 81]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке