Страница:
<< 24 25 26 27 28 29
30 >> [Всего задач: 149]
|
|
Сложность: 4 Классы: 7,8,9
|
Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом $30$ градусов одна биссектриса в два раза короче другой.
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
|
В треугольнике $ABC$ отношение медианы $AM$ к стороне $BC$ равно $\sqrt{3}:2$. На сторонах $ABC$ отмечены точки, делящие каждую сторону на 3 равные части. Докажите, что какие-то 4 из этих 6 отмеченных точек лежат на одной окружности.
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10
|
На столе лежат 2023 игральных кубика. За 1 рубль можно выбрать любой кубик и переставить его на любую из четырёх граней, которые сейчас для него боковые. За какое наименьшее количество рублей гарантированно удастся поставить все кубики так, чтобы на верхних гранях у них было поровну точек? (Количества точек на гранях каждого игрального кубика равны числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, суммарное число точек на противоположных гранях всегда равно 7.)
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10
|
На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: A1, A2, ..., A10, причём их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает вдоль окружности через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках A1, A2, ..., A9, а десятый сидит на дуге
A9A10A1. Можно ли утверждать, что он сидит именно в точке A10?
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11
|
На бесцветной плоскости покрасили три произвольные точки: одну – в красный цвет, другую – в синий, третью –` в жёлтый. Каждым ходом выбирают на плоскости любые две точки двух из этих цветов и окрашивают еще одну точку в оставшийся цвет так, чтобы эти три точки образовали равносторонний треугольник, в котором цвета вершин идут в порядке "красный, синий, жёлтый" (по часовой стрелке). При этом разрешается красить и уже окрашенную точку плоскости (считаем, что точка может иметь одновременно несколько цветов). Докажите, что сколько бы ходов ни было сделано, все точки одного цвета будут лежать на одной прямой.
Страница:
<< 24 25 26 27 28 29
30 >> [Всего задач: 149]