Версия для печати
Убрать все задачи

---

Общие касательные к описанной и вневписанной окружностям треугольника $ABC$ пересекают прямые $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $A_2$, $B_2$, $C_2$ соответственно. Треугольник $\Delta_1$ образован прямыми $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, а треугольник $\Delta_2$ – прямыми $AA_2$, $BB_2$ и $CC_2$. Докажите, что радиусы описанных окружностей этих треугольников равны.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67311

Темы:   [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10,11

Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66844

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Тождественные преобразования ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Целое число $n$ таково, что уравнение  $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = n$  имеет решение в целых числах.
Докажите, что тогда и уравнение  $x^2 + y^2 - xy = n$  имеет решение в целых числах.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66855

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность. Её основание $AB$ в 3 раза больше основания $CD$. Касательные к описанной окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что угол $KDA$ прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67072

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Докажите, что из любого выпуклого четырёхугольника можно вырезать три его копии вдвое меньшего размера.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67302

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10,11

Плоскость разбита на части несколькими прямыми, среди которых есть непараллельные. Те части, граница которых состоит из двух лучей, закрасили. После этого проведена ещё одна прямая. Докажите, что, независимо от положения новой прямой, по обе стороны от неё найдутся закрашенные точки.

Пример расположения прямых (без последней прямой) изображен на рисунке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями