Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]

Задача 67209

Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
Темы:	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Ивлев Ф., Марданов А.

На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $\angle BED = 3\angle BDE$. Точка $D'$ симметрична точке $D$ относительно прямой $AC$. Докажите, что прямая $D'E$ проходит через точку пересечения биссектрис треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67079

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Марданов А.

Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Выберем произвольную окружность ω, касающуюся описанной окружности Ω треугольника $ABC$ внутренним образом в точке $B$ и не пересекающую прямую $AC$. Отметим на ω точки $P$ и $Q$ так, чтобы прямые $AP$ и $CQ$ касались ω, а отрезки $AP$ и $CQ$ пересекались внутри треугольника $ABC$. Докажите, что все полученные таким образом прямые $PQ$ проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности ω.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67246

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Марданов А.

Пусть точка $M$ – середина катета $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $A$. На медиане $AN$ треугольника $AMC$ отмечена точка $D$, так что углы $ACD$ и $BCM$ равны. Докажите, что угол $DBC$ также равен этим углам.

Прислать комментарий Решение

Задача 67342

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Марданов А.

В трапецию $ABCD$ ($AD\parallel BC$) вписана окружность $\omega$, которая касается сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $P$ параллельно основаниям трапеции, пересекает прямую $QR$ в точке $X$. Докажите, что прямые $AB$, $QS$ и $DX$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 67371

Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
Темы:	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Марданов А., Марданова К.

Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $I$ касается его сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Вневписанная окружность с центром $J$ касается стороны $AC$ в точке $B_2$ и продолжений сторон $AB$ и $BC$ в точках $C_2$ и $A_2$ соответственно. Пусть прямые $IB_2$ и $JB_1$ пересекаются в точке $X$, прямые $IC_2$ и $JC_1$ – в точке $Y$, прямые $IA_2$ и $JA_1$ – в точке $Z$. Докажите, что если одна из точек $X$, $Y$, $Z$ лежит на вписанной окружности, то и две другие тоже.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]