Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дана окружность S и точка O внутри ее. Рассмотрим все проективные преобразования, которые S отображают в окружность, а O — в ее центр. Докажите, что все такие преобразования отображают на бесконечность одну и ту же прямую.

   Решение

---

Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ. Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков MQ и AC образуют квадрат.

   Решение

---

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Пусть P, Q — точки пересечения продолжений противоположных сторон AB и CD, AD и BC соответственно, R — произвольная точка внутри четырехугольника. Пусть K — точка пересечения прямых BC и PR, L — точка пересечения прямых AB и QR, M — точка пересечения прямых AK и DR. Докажите, что точки L, M и C лежат на одной прямой.

   Решение

---

Точка внутри правильного 2n-угольника соединена с вершинами. Возникшие 2n треугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных
    а) для  n = 4,   б) для  n = 3,   в) для произвольного n.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98418

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Тождественные преобразования ] [ Симметрические многочлены ] [ Линейная и полилинейная алгебра ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

В таблицу записано девять чисел:

Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой: Докажите, что сумма произведений строк таблицы равна сумме произведений её столбцов:   a₁b₁c₁ + a₂b₂c₂ + a₃b₃c₃ = a₁a₂a₃ + b₁b₂b₃ + c₁c₂c₃.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55136

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Точка внутри правильного 2n-угольника соединена с вершинами. Возникшие 2n треугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных
    а) для  n = 4,   б) для  n = 3,   в) для произвольного n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55380

Темы:   [ Векторы ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Из произвольной точки M внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры MK₁, MK₂, MK₃ на его стороны. Докажите, что

где O — центр треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98030

Темы:   [ Разрезания на параллелограммы ] [ Шестиугольники ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Правильный шестиугольник разрезан на N равновеликих параллелограммов. Доказать, что N делится на 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98130

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Построим треугольник A₁B₁C₁, стороны которого параллельны отрезкам PA, PB, PC
(B₁C₁ || PA,  C₁A₁ || PB,  A₁B₁ || PC). Через точки A₁, B₁, C₁ проведены прямые, параллельные соответственно BC, CA и AB. Докажите, что эти прямые пересекаются в точке, лежащей на описанной окружности треугольника A₁B₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями