Версия для печати
Убрать все задачи

---

Выпуклый n-угольник разрезан на треугольники непересекающимися диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения, при котором треугольники ABC и ACD заменяются на треугольники ABD и BCD. Пусть P(n) — наименьшее число преобразований, за которое любое разбиение можно перевести в любое другое. Докажите, что: а) P(n)n - 3; б) P(n)2n - 7; в) P(n)2n - 10 при n13.

   Решение

---

В пятиугольнике A₁A₂A₃A₄A₅ проведены биссектрисы l₁, l₂, ..., l₅ углов A₁, A₂, ..., A₅ соответственно. Биссектрисы l₁ и l₂ пересекаются в точке B₁, l₂ и l₃ – в точке B₂ и т.д., ..., l₅ и l₁ пересекаются в точке B₅. Может ли пятиугольник B₁B₂B₃B₄B₅ оказаться выпуклым?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 90]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64355

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 2 и 4 ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Существует ли такое натуральное n, что для любых ненулевых цифр a и b число  anb  делится на  ab ?  (Через  x...y  обозначено число, получаемое приписыванием друг к другу десятичных записей чисел x, ..., y.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65119

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Целые числа a, x₁, x₂, ..., x₁₃ таковы, что  a = (1 + x₁)(1 + x₂)...(1 + x₁₃) = (1 – x₁)(1 – x₂)...(1 – x₁₃).  Докажите, что  ax₁x₂...x₁₃ = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65242

Тема:   [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Назовём натуральное число почти квадратом, если оно равно произведению двух последовательных натуральных чисел.
Докажите, что каждый почти квадрат можно представить в виде частного двух почти квадратов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98137

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Четность и нечетность ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Докажите, что произведение всех целых чисел от  2¹⁹¹⁷ + 1  до  2¹⁹⁹¹ – 1  включительно не есть квадрат целого числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98252

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Разложение на множители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Докажите, что число 40...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с 1).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 90]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями