Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AC и BC в точках B₁ и A₁. Докажите, что если AC > BC, то AA₁ > BB₁.

   Решение

---

12 кузнецов должны подковать 15 лошадей. Каждый кузнец тратит на одну подкову 5 минут. Какое наименьшее время они должны потратить на работу? (Учтите, лошадь не может стоять на двух ногах.)

   Решение

---

В круг вписан правильный треугольник. Найдите отношение объёмов тел, полученных от вращения круга и треугольника вокруг диаметра, проходящего через вершину треугольника. В ответе укажите отношение меньшего объёма к большему (с точностью до сотых).

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109923  (#97.4.9.3)

Темы:   [ Раскладки и разбиения ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

а) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 2 раза.
Докажите, что их можно разложить в пакеты по два яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза.

б) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более чем в 3 раза.
Докажите, что их можно разложить в пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более чем в 1,5 раза.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109924  (#97.4.9.4)

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Назовём сочетанием цифр несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены запрещёнными. Известно, что запрещённых сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109925  (#97.4.9.5)

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Дан набор, состоящий из таких 1997 чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор.
Докажите, что произведение чисел в наборе равно 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109932  (#97.4.9.6)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число.
Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором – 1?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108178  (#97.4.9.7)

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Ломаные ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан треугольник ABC. Точка B₁ делит пополам длину ломаной ABC (составленной из отрезков AB и BC), точка C₁ делит пополам длину ломаной ACB, точка A₁ делит пополам длину ломаной CAB. Через точки A₁, B₁ и C₁ проводятся прямые l_A, l_B и l_C, параллельные биссектрисам углов BAC, ABC и ACB соответственно. Докажите, что прямые l_A, l_B и l_C пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями