Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 5. Треугольники
>>
параграф 9. Прямая Симсона
Фильтр
Выбрано 5 задач Убрать все задачи
Пусть A – некоторая точка пространства, B – ортогональная проекция точки A на плоскость α , l – некоторая прямая этой плоскости. Докажите, что ортогональные проекции точек A и B на эту прямую совпадают.
Вершины A и B правильного треугольника ABC
лежат на окружности S, а вершина C — внутри этой окружности.
Точка D лежит на окружности S, причем BD = AB.
Прямая CD пересекает S в точке E. Докажите, что длина
отрезка EC равна радиусу окружности S.
Рассмотрим алгоритм Евклида из задачи 60488, состоящий из k
шагов.
Докажите, что начальные числа m0 и m1 должны удовлетворять неравенствам m1 ≥ Fk+1, m0 ≥ Fk+2.
Один из двух приведённых квадратных трёхчленов имеет два корня, меньших 1000, другой – два корня, больших 1000. Может ли сумма этих трёхчленов иметь один корень меньший 1000, а другой – больший 1000?
В треугольнике ABC углы при вершинах B и C равны 40°, BD – биссектриса угла B. Докажите, что BD + DA = BC.
Задачи Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]
Задача 56939 |
|
|
Пусть A1 и B1 — проекции точки P описанной
окружности треугольника ABC на прямые BC и AC. Докажите,
что длина отрезка A1B1 равна длине проекции отрезка AB на
прямую A1B1.
|
|
Решение |
Задача 56940 |
|
|
На окружности фиксированы точки P и C; точки A
и B перемещаются по окружности так, что угол ACB остается
постоянным. Докажите, что прямые Симсона точки P относительно
треугольников ABC касаются фиксированной окружности.
|
|
|
Решение |
Задача 56941 |
|
|
Точка P движется по описанной окружности
треугольника ABC. Докажите, что при этом прямая Симсона точки P
относительно треугольника ABC поворачивается на угол, равный половине
угловой величины дуги, пройденной точкой P.
|
|
|
Решение |
Задача 56942 |
|
|
Докажите, что прямые Симсона двух диаметрально
противоположных точек описанной окружности треугольника ABC
перпендикулярны, а их точка пересечения лежит на окружности девяти
точек (см. задачу 5.106).
|
|
|
Решение |
Задача 56943 |
|
|
Точки A, B, C, P и Q лежат на окружности
с центром O, причем углы между вектором
и
векторами
,
,
и
равны
,
,
и
(
+
+
)/2. Докажите. что прямая Симсона
точки P относительно треугольника ABC параллельна OQ.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]
