Версия для печати
Убрать все задачи

---

64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме квадратной таблицы: по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоящих на одной из диагоналей, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно этой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в каждом столбце меньше 1035.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65804  (#21)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Покрытия ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прямоугольники P и Q равновелики, но у P диагональ больше. Двумя копиями P можно накрыть Q. Докажите, что двумя копиями Q можно накрыть P.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65810  (#22)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Выход в пространство ] [ Равногранный тетраэдр ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Пусть M_A, M_B, M_C – середины сторон неравнобедренного треугольника ABC, точки H_A, H_B, H_C, отличные от M_A, M_B, M_C, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что  M_AH_B = M_AH_C,  M_BH_A = M_BH_C,  M_CH_A = M_CH_B.  Докажите, что H_A, H_B, H_C – основания высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65811  (#23)

Темы:   [ Сфера, касающаяся ребер тетраэдра ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Касающиеся сферы ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Дан тетраэдр, в который можно вписать сферу, касающуюся всех его рёбер. Пусть отрезки касательных из вершин равны a, b, c и d. Всегда ли можно из этих четырёх отрезков сложить какой-нибудь треугольник? (Не обязательно использовать все отрезки. Разрешается образовывать сторону треугольника из двух отрезков.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65812  (#24)

Темы:   [ Cфера, вписанная в призму ] [ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ] [ Касательные к сферам ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Точка Торричелли ] [ Окружность Аполлония ] [ Подерный (педальный) треугольник ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

В призму ABCA'B'C' вписана сфера, касающаяся боковых граней BCC'B', CAA'C, ABB'A' в точках A₀, B₀, C₀ соответственно. При этом
∠A₀BB' = ∠B₀CC' = ∠C₀AA'.
  а) Чему могут равняться эти углы?
  б) Докажите, что отрезки AA₀, BB₀, CC₀ пересекаются в одной точке.
  в) Докажите, что проекции центра сферы на прямые A'B', B'C', C'A' образуют правильный треугольник.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями