Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65809  (#16)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Центр поворотной гомотетии ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

BB₁ и CC₁ – высоты треугольника ABC. Касательные к описанной окружности треугольника AB₁C₁ в точках B₁ и C₁ пересекают прямые AB и AC в точках M и N соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников AMN и AB₁C₁ лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65805  (#17)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Радикальная ось ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

На стороне BC треугольника ABC взята произвольная точка D. Через D и A проведены окружности ω₁ и ω₂ так, что прямая BA касается ω₁, прямая CA касается ω₂. BX – вторая касательная, проведённая из точки B к окружности ω₁, CY – вторая касательная, проведённая из точки C к окружности ω₂. Докажите, что описанная окружность треугольника XDY касается прямой BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65806  (#18)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Вокруг прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C описана окружность, на меньших дугах AC и BC взяты их середины – K и P соответственно. Отрезок KP пересекает катет AC в точке N. Центр вписанной окружности треугольника ABC – I. Найти угол NIC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65807  (#19)

Темы:   [ Шестиугольники ] [ Правильные многоугольники ] [ Точка Лемуана ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Правильный шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Точки P и Q выбраны на касательных, проведённых к этой окружности в точках A и D соответственно, так, что прямая PQ касается меньшей дуги EF этой окружности. Найдите угол между прямыми PB и QC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65808  (#20)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Вписанная окружность ω треугольника ABC касается сторон BC, AC и AB в точках A₀, B₀ и C₀ соответственно. Биссектрисы углов B и C пересекают серединный перпендикуляр к отрезку AA₀ в точках Q и P соответственно. Докажите, что прямые PC₀ и QB₀ пересекаются на окружности ω.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями