- 2004/2005 (98 задач)
Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD ( S – вершина) равна 10. Точки E и F расположены на рёбрах DC и BC соответственно, причём CE=6 , CF=9 . Известно, что для данной пирамиды существует единственный конус, вершина которого совпадает с точкой E , центр основания лежит на прямой SA , а отрезок EF является одной из образующих. Найдите объём этого конуса.
При подстановке в многочлены Чебышёва (см. задачу 61099) числа x = cos α получаются значения
Сфера касается боковых граней четырёхугольной пирамиды
SABCD в точках, лежащих на рёбрах AB , BC , CD , DA .
Известно, что высота пирамиды равна 2 , AB=9 ,
SA=6 , SB=9 , SC=2
. Найдите длины рёбер BC
и CD , радиус сферы и двугранный угол при ребре SD .
На сторонах выпуклого n-угольника внешним образом построены правильные
n-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n-угольник тогда и
только тогда, когда исходный n-угольник аффинно правильный.
Внутри параллелограмма ABCD взята точка K так, что треугольник CKD равносторонний. Известно, что расстояния от точки K до прямых AD , AB и BC равны соответственно 3, 6 и 5. Найдите периметр параллелограмма.
Высота и радиус основания цилиндра равны 1. Каким наименьшим числом шаров радиуса 1 можно целиком покрыть этот цилиндр?
Докажите, что n³ + 2 не делится на 9 ни при каком натуральном n.
Четыре окружности попарно касаются внешним
образом (в шести различных точках). Пусть
a , b , c , d — их радиусы,
a = ,
b =
,
g =
,
d =
.
Докажите, что
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром b и углом α бокового ребра с плоскостью основания.
Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен ϕ . Найдите угол бокового ребра с плоскостью основания пирамиды.
Внутри параллелограмма KLMN взята точка P так, что треугольник KPN равносторонний. Известно, что расстояния от точки P до прямых KL , LM и MN равны соответственно 10, 3 и 6. Найдите периметр параллелограмма.
Круг поделили хордой AB на два круговых сегмента и один из них повернули на некоторый угол вокруг точки A. При этом повороте точка B перешла в точку D (см. рис.).
Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка BD, перпендикулярны друг другу.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 97]
Задача 88068 |
|
|
Золотоискатель Джек добыл 9 кг золотого песка. Сможет ли он за три взвешивания отмерить 2 кг песка с помощью чашечных весов: а) с двумя гирями — 200 г и 50 г; б) с одной гирей 200 г?
|
|
Решение |
Задача 88070 |
|
|
Известно, что p > 3 и p – простое число.
а) Как вы думаете, будет ли хотя бы одно из чисел p + 1
и p – 1 делиться на 4?
б) А на 5?
|
|
|
Решение |
Задача 88092 |
|
|
Простые числа имеют только два различных делителя – единицу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя?
|
|
|
Решение |
Задача 88102 |
|
|
Дано 25 чисел. Какие бы три из них мы ни выбрали, среди оставшихся найдётся такое четвёртое, что сумма этих четырёх чисел будет положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?
|
|
|
Решение |
Задача 88120 |
|
|
Можно ли таблицу 5×5 заполнить числами так, чтобы сумма чисел в каждой строке была положительной, а сумма чисел в каждом столбце – отрицательной?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 97]
