Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1962 год
>>
10 класс, 1 тур
Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Окружность с центром в точке $E$ лежит внутри прямоугольника. Из вершин $C$, $D$, $A$ проведены касательные к окружности $CF$, $DG$, $AH$, причем $CF$ пересекает $DG$ в точке $I$, $EI$ пересекает $AD$ в точке $J$, а прямые $AH$ и $CF$ пересекаются в точке $L$. Докажите, что отрезок $LJ$ перпендикулярен $AD$.
Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x) и представьте его в виде P(x)U(x) + Q(x)V(x):
а) P(x) = x4 + x³ – 3x² – 4x – 1, Q(x) = x³ + x² – x – 1;
б) P(x) = 3x4 – 5x³ + 4x² – 2x + 1, Q(x) = 3x³ – 2x² + x – 1.
Пусть точки A*, B*, C*, D* являются образами точек A, B, C,
D при инверсии. Докажите, что:
а)
:
=
:
;
б)
(DA, AC) -
(DB, BC) =
(D*B*, B*C*) -
(D*A*, A*C*).
Докажите, что многочлен P(x) = (xn+1 – 1)(xn+2 – 1)...(xn+m – 1) делится на Q(x) = (x – 1)(x2 – 1)...(xm – 1).
В турнире участвуют 2m команд. В первом туре встретились некоторые m пар команд, во втором – другие m пар.
Докажите, что после этого можно выбрать m команд, никакие две из которых ещё не играли между собой.
Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c,
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число
, называемое простым отношением трех комплексных чисел,
вещественно.
б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d,
лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда
число
:
, называемое двойным отношением
четырех комплексных чисел, вещественно.
В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 2019. Никакое число и никакая сумма нескольких подряд записанных чисел не равна 40. Какое наибольшее количество чисел могло быть выписано?
Задачи Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 78284 (#1) |
|
|
Даны два пересекающихся луча AС и BD. На этих лучах выбираются точки M и N (соответственно) так, что AM = BN. Найти положение точек M и N, при котором длина отрезка MN минимальна.
|
|
Решение |
Задача 78285 (#2) |
|
|
На сторонах квадрата, как на основаниях, построены во внешнюю сторону равные равнобедренные треугольники с острым углом при вершине. Доказать, что получившуюся фигуру нельзя разбить на параллелограммы.
|
|
|
Решение |
Задача 78286 (#3) |
|
|
Доказать, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких различных членов последовательности 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., an = an - 1 + an - 2,....
|
|
|
Решение |
Задача 78282 (#4) |
|
|
Дана система уравнений:
Какие значения может принимать x25?
|
|
|
Решение |
Задача 78277 (#5) |
|
|
Даны n карточек; на обеих сторонах каждой карточки написано по одному из чисел 1, 2,..., n, причём так, что каждое число встречается на всех n карточках ровно два раза. Доказать, что карточки можно разложить на столе так, что сверху окажутся все числа: 1, 2,..., n.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
