Версия для печати
Убрать все задачи

---

Целое число $n$ таково, что уравнение  $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = n$  имеет решение в целых числах.
Докажите, что тогда и уравнение  $x^2 + y^2 - xy = n$  имеет решение в целых числах.

   Решение

---

Дана тригармоническая четвёрка точек A, B, C и D (то есть  AB·CD = AC·BD = AD·BC).  Пусть A₁ – такая отличная от A точка, что четвёрка точек A₁, B, C и D тригармоническая. Точки B₁, C₁ и D₁ определяются аналогично. Докажите, что
  a) A, B, C₁, D₁ лежат на одной окружности;
  б) точки A₁, B₁, C₁, D₁ образуют тригармоническую четвёрку.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 39]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115780

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Теорема синусов ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Какие треугольники можно разрезать на три треугольника с равными радиусами описанных окружностей?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115781

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ ГМТ (прочее) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Найдите геометрическое место вершин треугольников с заданными ортоцентром и центром описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110753

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Точки A', B', C' – основания высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с центром B и радиусом BB' пересекает прямую A'C' в точках K и L (точки K и A лежат по одну сторону от BB'). Докажите, что точка пересечения прямых AK и CL лежит на прямой BO, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110762

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Неравенства с медианами ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

Медианы AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке M , причем AMB=120^o . Докажите, что углы AB'M и BA'M не могут быть оба острыми или оба тупыми.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110764

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Гомотетичные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Докажите, что радиус этой окружности меньше суммы радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC и ACD .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 39]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями