Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то проекции точки пересечения диагоналей на стороны являются вершинами вписанного четырехугольника.

Вниз   Решение


Диагональ AC разбивает четырехугольник ABCD на два треугольника, вписанные окружности которых касаются диагонали AC в одной точке. Докажите, что вписанные окружности треугольников ABD и BCD тоже касаются диагонали BD в одной точке, а точки их касания со сторонами четырехугольника лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение


Две касающиеся окружности с центрами O1 и O2 касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O. Найдите периметр треугольника OO1O2.

ВверхВниз   Решение


Окружности S1 и S2 касаются окружности S внутренним образом в точках A и B, причем одна из точек пересечения окружностей S1 и S2 лежит на отрезке AB. Докажите, что сумма радиусов окружностей S1 и S2 равна радиусу окружности S.

ВверхВниз   Решение


Радиусы окружностей S1 и S2, касающихся в точке A, равны R и r (R > r). Найдите длину касательной, проведенной к окружности S2 из точки B окружности S1, если известно, что AB = a. (Разберите случаи внутреннего и внешнего касания.)

ВверхВниз   Решение


Угол между сторонами AB и CD четырехугольника ABCD равен $ \varphi$. Докажите, что  AD2 = AB2 + BC2 + CD2 - 2(AB . BC cos B + BC . CD cos C + CD . AB cos$ \varphi$).

ВверхВниз   Решение


Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника на его стороны являются вершинами описанного четырехугольника, если только они не попадают на продолжения сторон.

ВверхВниз   Решение


Три окружности S1, S2 и S3 попарно касаются друг друга в трех различных точках. Докажите, что прямые, соединяющие точку касания окружностей S1 и S2 с двумя другими точками касания, пересекают окружность S3 в точках, являющихся концами ее диаметра.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 99]      



Задача 78198  (#011)

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

Прислать комментарий     Решение

Задача 30598  (#012)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Докажите, что ни одно из чисел вида 103n+1 нельзя представить в виде суммы двух кубов натуральных чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 30599  (#013)

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Разложение на множители ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Докажите, что среди 51 целого числа найдутся два, квадраты которых дают одинаковые остатки при делении на 100.

Прислать комментарий     Решение

Задача 30600  (#014)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Симметрия и инволютивные преобразования ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Назовём натуральное число n удобным, если  n² + 1  делится на 1000001. Докажите, что среди чисел 1, 2, ..., 1000000 чётное число удобных.

Прислать комментарий     Решение

Задача 30601  (#015)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

а) Может ли квадрат натурального числа оканчиваться на 2?

б) Можно ли, используя только цифры 2, 3, 7, 8 (возможно, по несколько раз), составить квадрат натурального числа?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 99]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .