Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны, то и диагонали любого другого четырехугольника с такими же длинами сторон перпендикулярны.

   Решение

---

Докажите, что если n-угольник разрезан произвольным образом на k треугольников, то kn - 2.

   Решение

---

Надя испекла пирожки с малиной, черникой и клубникой. Пирожков с малиной получилась половина от общего количества пирожков; пирожков с черникой – на 14 меньше, чем пирожков с малиной. А пирожков с клубникой получилось в два раза меньше, чем пирожков с малиной и черникой вместе. Сколько пирожков каждого вида испекла Надя?

   Решение

---

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O . Точки C' , D' симметричны ортоцентрам треугольников ABD и ABC относительно O . Докажите, что если прямые BD и BD' симметричны относительно биссектрисы угла B , то прямые AC и AC' симметричны относительно биссектрисы угла A .

   Решение

---

На плоскости дано n попарно непараллельных прямых. Докажите, что угол между некоторыми двумя из них не больше 180^o/n.

   Решение

---

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.

   Решение

---

При каких  n > 2  можно расставить целые числа от 1 до n по кругу так, чтобы сумма каждых двух соседних чисел делилась нацело на следующее за ними по часовой стрелке?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98409  (#М1683)

Темы:   [ Правило произведения ] [ Степень вершины ] [ Связность и разложение на связные компоненты ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Имеется 20 бусинок десяти цветов, по две бусинки каждого цвета. Их как-то разложили в 10 коробок. Известно, что можно выбрать по бусинке из каждой коробки так, что все цвета будут представлены. Докажите, что число способов такого выбора есть ненулевая степень двойки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98441  (#М1684)

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

2n радиусов разделили круг на 2n равных секторов: n синих и n красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до n. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдётся полукруг, в котором записаны все числа от 1 до n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98420  (#М1687)  [Багаж в Московском метрополитене]

Темы:   [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ] [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Боковая поверхность параллелепипеда ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Будем называть "размером" прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его измерений – длины, ширины и высоты.
Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98421  (#М1688)

Темы:   [ Замена переменных ] [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ] [ Разрывы функций ]

Сложность: 5- Классы: 9,10

Дана функция    ,   где трёхчлены  x² + ax + b  и  x² + cx + d  не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:
  1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;
  2)  f(x) представима в виде:  f(x) = f₁(f₂(...f_n–1(f_n(x))...)),  где каждая из функций  f_i(x) есть функция одного из видов:   k_ix + b_i, x^–1, x².

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями