Дан треугольник ABC. Построены четыре окружности равного радиуса  так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите , если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны r и R соответственно.

   Решение

На столе лежат в ряд пять монет: средняя – орлом вверх, а остальные – решкой вверх. За одну операцию разрешается одновременно перевернуть ровно три монеты, лежащие рядом. Можно ли, выполнив такую операцию несколько раз, добиться того, чтобы все пять монет лежали орлом вверх?

   Решение

Какое самое большое число ладей можно поставить на шахматную доску 8 на 8 так, чтобы они не били друг друга?

   Решение

Дана прямая l в пространстве и точка A, не лежащая на ней. Для каждой прямой l', проходящей через A, построим общий перпендикуляр XY (Y лежит на l') к прямым l и l'. Найдите ГМТ точек Y.

   Решение

В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым числом иголок.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

Прямые PA и PB касаются окружности с центром O (A и B — точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки PA и PB в точках X и Y. Докажите, что величина угла XOY не зависит от выбора третьей касательной.

Прислать комментарий

Решение

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K, а вневписанная — в точке L. Докажите, что  CK = BL = (a + b - c)/2, где a, b, c — длины сторон треугольника.

Прислать комментарий

Решение

На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка E, и в треугольники ACE и ECB вписаны окружности, касающиеся отрезка CE в точках M и N. Найдите длину отрезка MN, если известны длины отрезков AE и BE.

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник ABCD обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений сторон BC и CD. Докажите, что  AB + BC = AD + DC.

Прислать комментарий

Решение

Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами R и r пересекает их общие внешние касательные в точках A и B и касается одной из окружностей в точке C. Докажите, что  AC ^. CB = Rr.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]