- осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс (5 задач)
- осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс (5 задач)
- осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс (7 задач)
- осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс (7 задач)
- весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс (5 задач)
- весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс (5 задач)
- весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс (7 задач)
- весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс (7 задач)
- устный тур (6 задач)
Фильтр
Выбрано 5 задач Убрать все задачи
На сторонах AB и CD прямоугольника ABCD отметили точки E и F, так что AFCE – ромб. Известно, что АВ = 16, ВС = 12. Найдите EF.
Положительные числа x, y, z таковы, что xyz = 1. Докажите, что
При каких n > 2 можно расставить целые числа от 1 до n по кругу так, чтобы сумма каждых двух соседних чисел делилась нацело на следующее за ними по часовой стрелке?
Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке O, причём AO = OD. Докажите равенство треугольников ABC и DCB.
На двух противоположных гранях игрального кубика нарисовано по одной точке, на
двух других противоположных – по две точки, и на двух оставшихся – по три точки. Из восьми таких кубиков сложили куб 2×2×2 и посчитали суммарное число точек на каждой из его шести граней.
Могли ли получиться шесть последовательных чисел?
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]
Задача 66865 |
|
|
На окружности отмечено 100 точек. Может ли при этом оказаться ровно 1000 прямоугольных треугольников, все вершины которых — отмеченные точки?
|
|
Решение |
Задача 66866 |
|
|
Группа из восьми теннисистов раз в год разыгрывала кубок по
олимпийской системе (игроки по жребию делятся на 4 пары;
выигравшие делятся по жребию на две пары, играющие в полуфинале; их победители играют финальную партию).
Через несколько лет оказалось, что каждый с каждым сыграл ровно один раз.
Докажите, что
а) каждый побывал в полуфинале более одного раза;
б) каждый побывал в финале.
|
|
|
Решение |
Задача 66870 |
|
|
Каждый из квадратных трёхчленов $P(x)$, $Q(x)$ и $P(x)+Q(x)$ с действительными коэффициентами имеет кратный корень. Обязательно ли все эти корни совпадают?
|
|
|
Решение |
Задача 66871 |
|
|
На прямой отметили точки $X_1, \ldots, X_{10}$ (именно в таком порядке) и построили на отрезках $X_1X_2$, $X_2X_3$, ..., $X_9X_{10}$ как на основаниях равнобедренные треугольники с углом $\alpha$ при вершинах. Оказалось, что все эти вершины лежат на полуокружности с диаметром $X_1X_{10}$. Найдите $\alpha$.
|
|
|
Решение |
Задача 66875 |
|
|
Для всякого ли выпуклого четырёхугольника найдётся окружность, пересекающая каждую его сторону в двух внутренних точках?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]
