Версия для печати
Убрать все задачи

---

На хорде AC окружности ω выбрали точку B. На отрезках AB и BC как на диаметрах построили окружности ω₁ и ω₂ с центрами O₁ и O₂, которые пересекают ω второй раз в точках D и E соответственно. Лучи O₁D и O₂E пересекаются в точке F. Лучи AD и CE пересекаются в точке G.
Докажите, что прямая FG проходит через середину AC.

   Решение

---

В выпуклом четырёхугольнике ACBD, площадь которого равна 25, проведены диагонали. Известно, что  S_ABC = 2 S_BCD,  а  S_ABD = 3 S_ACD.  Найдите площади треугольников ABC, ACD, ADB и BCD.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65022  (#21)

Темы:   [ Четырехугольник (неравенства) ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Известно, что  ∠ABD + ∠ACD > ∠BAC + ∠BDC.  Докажите, что  S_ABD + S_ACD > S_BAC + S_BDC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65023  (#22)

Темы:   [ Кривые второго порядка ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Окружность с центром F и парабола с фокусом F пересекаются в двух точках.
Докажите, что на окружности найдутся такие четыре точки A, B, C, D, что прямые AB, BC, CD и DA касаются параболы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65024  (#23)

Темы:   [ Шестиугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Теорема Птолемея ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Известно, что  AB·CF = 2BC·FA,  CD·EB = 2DE·BC,  EF·AD = 2FA·DE.
Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65025  (#24)

Темы:   [ Перпендикулярные прямые в пространстве ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Дана прямая l в пространстве и точка A, не лежащая на ней. Для каждой прямой l', проходящей через A, построим общий перпендикуляр XY (Y лежит на l') к прямым l и l'. Найдите ГМТ точек Y.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65026  (#25)

Темы:   [ Основные свойства и определения правильных многогранников ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 4- Классы: 11

Среди вершин двух неравных икосаэдров можно выбрать шесть, являющихся вершинами правильного октаэдра.
Найдите отношение рёбер икосаэдров.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями