Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Внутри треугольника BCD взяли точку L_a, расстояния от которой до сторон треугольника пропорциональны этим сторонам. Аналогично внутри треугольников ACD, ABD, ABC взяли точки L_b, L_c и L_d соответственно. Оказалось, что четырёхугольник L_aL_bL_cL_d вписанный. Докажите, что у ABCD есть две параллельные стороны.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97879  (#1)

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Подсчет двумя способами ] [ Средние величины ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Восемь волейбольных команд провели турнир в один круг (каждая команда сыграла с каждой один раз). Доказать, что можно выделить такие четыре команды A, B, C и D, что A выиграла у B, C и D; B выиграла у C и D, C выиграла у D.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97880  (#2)  [Игра "кошки-мышки"]

Темы:   [ Симметричная стратегия ] [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Кошка ловит мышку в лабиринтах А, Б, В. Кошка ходит первой, начиная с узла, отмеченного буквой "К". Затем ходит мышка (из узла "М"), затем опять кошка и т. д. Из любого узла кошка и мышка ходят в любой соседний узел. Если в какой-то момент кошка и мышка оказываются в одном узле, кошка ест мышку. Сможет ли кошка поймать мышку в каждом из случаев А, Б, В?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108612  (#3)

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Концентрические окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Учитель продиктовал классу задание, которое каждый ученик выполнил в своей тетради. Вот это задание:

  Нарисуйте две концентрические окружности радиусов 1 и 10. К малой окружности проведите три касательные так, чтобы их точки пересечения A, B и C лежали внутри большой окружности. Измерьте площадь S треугольника ABC и площади S_A, S_B и S_C трёх образовавшихся криволинейных треугольников с вершинами в точках A, B и C. Найдите  S_A + S_B + S_C – S.

Докажите, что у всех учеников (если они правильно выполнили задание) получились одинаковые результаты.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97882  (#4)

Темы:   [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Два шахматиста играют между собой в шахматы с часами (сделав ход, шахматист останавливает свои часы и пускает часы другого). Известно, что после того, как оба сделали по 40 ходов, часы обоих шахматистов показывали одно и то же время: 2 часа 30 мин.

  а) Докажите, что в ходе партии был момент, когда часы одного обгоняли часы другого не менее, чем на 1 мин. 51 сек.
  б) Можно ли утверждать, что в некоторый момент разница показаний часов была равна 2 мин.?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 34976  (#5)

Темы:   [ Дискретное распределение ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10,11

Двое бросают монету: один бросил ее 10 раз, другой – 11 раз.
Чему равна вероятность того, что у второго монета упала орлом большее число раз, чем у первого?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями