Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть H – ортоцентр треугольника ABC, X – произвольная точка. Окружность с диаметром XH вторично пересекает прямые AH, BH, CH в точках A₁, B₁, C₁, а прямые AX, BX, CX в точках A₂, B₂, C₂. Доказать, что прямые A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: << 119 120 121 122 123 124 125 >> [Всего задач: 915]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 103933

Темы:   [ Преобразования подобия (прочее) ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На плоскости даны два отрезка A₁B₁ и A₂B₂, причём  ^A₂B₂/_A1B1 = k < 1.  На отрезке A₁A₂ взята точка A₃, а на продолжении этого отрезка за точку А₂ – точка А₄ так, что  ^A₃А₂/_А3А1 = ^А₄А₂/_А4А1 = k.  Аналогично на отрезке В₁В₂ берётся точка В₃, а на продолжении этого отрезка за точку В₂ – точка В₄ так, что
^В₃В₂/_В3В1 = ^В₄В₂/_В4В1 = k.  Найти угол между прямыми А₃В₃ и А₄В₄.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 103934

Темы:   [ Окружность, вписанная в угол ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Теорема синусов ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках X, Y, расстояние между которыми также равно 1. Из точки C одной окружности проведены касательные CA, CB к другой. Прямая CB вторично пересекает первую окружность в точке A'. Найти расстояние AA'.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 103935

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Теорема синусов ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Пусть H – ортоцентр треугольника ABC, X – произвольная точка. Окружность с диаметром XH вторично пересекает прямые AH, BH, CH в точках A₁, B₁, C₁, а прямые AX, BX, CX в точках A₂, B₂, C₂. Доказать, что прямые A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110752

Темы:   [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В остроугольном треугольнике отметили отличные от вершин точки пересечения описанной окружности с высотами, проведенными из двух вершин, и биссектрисой, проведенной из третьей вершины, после чего сам треугольник стерли. Восстановите его.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110761

Темы:   [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ ГМТ и вписанный угол ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Найдите геометрическое место точек пересечения высот треугольников, у которых даны середина одной стороны и основания высот, опущенных на две другие.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 119 120 121 122 123 124 125 >> [Всего задач: 915]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями