Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]

Задача 105110 (#1)

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Сендеров В.А.

Приведите пример многочлена P(x) степени 2001, для которого P(x) + P(1 – x) ≡ 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98526 (#2)

Темы:	[	Задачи на проценты и отношения	]
Темы:	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Вялый М.Н.

В школе (где училось больше 5 учеников) подвели итоги учебного года. Выяснилось, что в каждом множестве из пяти и более учеников не менее 80% двоек, полученных этими учениками в течение года, поставлены не более чем 20% процентам учеников из этого множества. Докажите, что по крайней мере три четверти всех двоек, поставленных в школе, получил один ученик.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108128 (#3)

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Равные треугольники. Признаки равенства (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Акопян А.В.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH_A, BH_B и CH_C.
Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников AH_BH_C, BH_AH_C и CH_AH_B равен треугольнику H_AH_BH_C.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98528 (#4)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Раскладки и разбиения	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Даны две таблицы A и B, в каждой m строк и n столбцов. В каждой клетке каждой таблицы записано одно из чисел 0 или 1, причём в строках таблиц числа не убывают (при движении по строке слева направо), и в столбцах таблиц числа не убывают (при движении по столбцу сверху вниз). Известно, что при любом k от 1 до m сумма чисел в верхних k строках таблицы A не меньше суммы чисел в верхних k строках таблицы B. Известно также, что всего в таблице A столько же единиц, сколько в таблице B. Докажите, что при любом l от 1 до n сумма чисел в левых l столбцах таблицы A не больше суммы чисел в левых l столбцах таблицы B.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105107 (#5)

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Толпыго А.К.

Участники шахматного турнира сыграли друг с другом по одной партии. Для каждого участника A было подсчитано число набранных им очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков) и коэффициент силы по формуле: сумма очков тех участников, у кого A выиграл, минус сумма очков тех, кому он проиграл.
а) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть больше 0?
б) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть меньше 0?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]