Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Фольклор

На координатной плоскости изображен график функции  y = ax² + c  (см. рисунок). В каких точках график функции  y = cx + a  пересекает оси координат?

Вниз   Решение


Сплав из золота и серебра массой 13 кг 850 г при полном погружении в воду вытеснил 900 г воды. Определить количество золота и серебра в этом сплаве, если известно, что плотность золота равна 19,3 кг/дм3, а серебра – 10,5 кг/дм3.

ВверхВниз   Решение


В квадрате n×n клеток бесконечной шахматной доски расположены n2 фишек, по одной фишке в каждой клетке. Ходом называется перепрыгивание любой фишкой через соседнюю по стороне фишку, непосредственно за которой следует свободная клетка. При этом фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Докажите, что позиция, в которой дальнейшие ходы невозможны, возникнет не ранее, чем через [] ходов.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Найдите наименьшее число, кратное 45, десятичная запись которого состоит только из единиц и нулей.

ВверхВниз   Решение


Решить в целых числах уравнение  9x + 2 = (y + 1)y.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

На доске записаны числа 1, 21, 2², 2³, 24, 25. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число.
Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

ВверхВниз   Решение


Каких точных квадратов, не превосходящих 1020, больше: тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 8?

ВверхВниз   Решение


Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна 100, а сумма цифр числа 44n равна 800. Чему равна сумма цифр числа 3n ?

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Решите уравнение:   (x + 2010)(x + 2011)(x + 2012) = (x + 2011)(x + 2012)(x + 2013).

ВверхВниз   Решение


Из квадратной доски 1000×1000 клеток удалены четыре прямоугольника 2×994 (см. рис.).

На клетке, помеченной звездочкой, стоит кентавр – фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?

ВверхВниз   Решение


Доказать, что  7 + 7² + ... + 74K,  где K – любое натуральное число, делится на 400.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 132]      



Задача 108742

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Арифметические действия. Числовые тождества ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Доказать, что  7 + 7² + ... + 74K,  где K – любое натуральное число, делится на 400.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108743

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108749

Темы:   [ Периметр треугольника ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Построить такой равнобедренный треугольник, чтобы периметр всякого вписанного в него прямоугольника (две вершины которого лежат на основании треугольника) был постоянный.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108970

Темы:   [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ]
[ Модуль числа (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Доказать, что выражение

+

равно 2, если 1<= a <= 2 , и равно 2 , если a>2 .
Прислать комментарий     Решение

Задача 108973

Темы:   [ Теорема синусов ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

M – произвольная точка на стороне AC треугольника ABC . Доказать, что отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABM и BCM , не зависит от выбора точки M на стороне AC .
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 132]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .