Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.

Вниз   Решение


Есть шоколадка в форме равностороннего треугольника со стороной n, разделённая бороздками на равносторонние треугольники со стороной 1. Играют двое. За ход можно отломать от шоколадки треугольный кусок вдоль бороздки, съесть его, а остаток передать противнику. Тот, кто получит последний кусок – треугольник со стороной 1, – победитель. Для каждого n выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы не играл противник?

ВверхВниз   Решение


Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение  P(m) + P(n) = 0  имеет бесконечно много решений в целых числах m и n.
Докажите, что у графика  y = P(x)  есть центр симметрии.

ВверхВниз   Решение


В бесконечной последовательности  a1, a2, a3, ... число a1 равно 1, а каждое следующее число an строится из предыдущего an–1 по правилу: если у числа n наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то  an = an–1 + 1,  если же остаток равен 3, то  an = an–1 – 1.  Докажите, что в этой последовательности
  а) число 1 встречается бесконечно много раз;
  б) каждое натуральное число встречается бесконечно много раз.
(Вот первые члены этой последовательности: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, ...)

ВверхВниз   Решение


В квадрате 3×3 расставлены числа (см. рис.). Известно, что квадрат магический: сумма чисел в каждом столбце, в каждой строке и на каждой диагонали одна и та же. Докажите, что
  а)  2(a + c + g + i) = b + d + f + h + 4e.
  б)  2(a³ + c³ + g³ + i³) = b³ + d³ + f ³ + h³ + 4e³.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      



Задача 109193

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Пусть   = ,  где    – несократимая дробь.
Докажите, что неравенство  bn+1 < bn выполнено для бесконечного числа натуральных n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109195

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что лучи A1A, B1B и С1C являются биссектрисами углов треугольника A1B1C1. Докажите, что AA1, BB1 и СС1 – высоты треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66201

Темы:   [ Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Четность и нечетность ]
[ Параллельный перенос ]
[ Cерединный перпендикуляр и ГМТ ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

От правильного октаэдра со стороной 1 отрезали шесть углов – пирамидок с квадратным основанием и ребром ⅓. Получился многогранник, грани которого – квадраты и правильные шестиугольники. Можно ли копиями такого многогранника замостить пространство?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109190

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В квадрате 3×3 расставлены числа (см. рис.). Известно, что квадрат магический: сумма чисел в каждом столбце, в каждой строке и на каждой диагонали одна и та же. Докажите, что
  а)  2(a + c + g + i) = b + d + f + h + 4e.
  б)  2(a³ + c³ + g³ + i³) = b³ + d³ + f ³ + h³ + 4e³.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109194

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Оценка + пример ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

У ведущего есть колода из 52 карт. Зрители хотят узнать, в каком порядке лежат карты (при этом не уточняя   сверху вниз или снизу вверх). Разрешается задавать ведущему вопросы вида "Сколько карт лежит между такой-то и такой-то картами?". Один из зрителей подсмотрел, в каком порядке лежат карты. Какое наименьшее число вопросов он должен задать, чтобы остальные зрители по ответам на эти вопросы могли узнать порядок карт в колоде?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .