Версия для печати
Убрать все задачи

---

В правильной пирамиде SMNPQ ( S – вершина) точки H и F – середины рёбер MN и NP соответственно, точка E лежит на отрезке SH , причём SH = 3 , SE = . Расстояние от точки S до прямой EF равно . Найдите объём пирамиды. Дана сфера радиуса 1 с центром в точке S . Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдры ABCD такие, что точки C и D лежат на прямой EF , а прямая AB касается сферы в одной из точек отрезка AB . Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.

   Решение

---

Сколько существует (невырожденных) треугольников периметра 100 с целыми длинами сторон?

   Решение

---

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания a боковым ребром b .

   Решение

---

Внутри круга расположены точки A₁, A₂, ..., A_n, а на его границе – точки B₁, B₂, ..., B_n так, что отрезки A₁B₁, A₂B₂, ..., A_nB_n не пересекаются. Кузнечик может перепрыгнуть из точки A_i в точку A_j, если отрезок A_iA_j не пересекается ни с одним из отрезков A_kB_k,  k ≠ i, j.
Докажите, что за несколько прыжков кузнечик сможет попасть из каждой точки A_p в любую точку A_q.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109577  (#94.4.11.6)

Тема:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Функция f(x) определена и удовлетворяет соотношению

(x-1)f()-f(x)=x
при всех x1 . Найдите все такие функции.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109578  (#94.4.11.7)

Темы:   [ Правильная пирамида ] [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

На боковых ребрах SA , SB и SC правильной треугольной пирамиды SABC взяты соответственно точки A₁ , B₁ и C₁ так, что плоскости A₁B₁C₁ и ABC параллельны. Пусть O – центр сферы, проходящей через точки S , A , B и C₁ . Докажите, что прямая SO перпендикулярна плоскости A₁B₁C .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109579  (#94.4.11.8)

Темы:   [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Индукция в геометрии ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Обход графов ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Внутри круга расположены точки A₁, A₂, ..., A_n, а на его границе – точки B₁, B₂, ..., B_n так, что отрезки A₁B₁, A₂B₂, ..., A_nB_n не пересекаются. Кузнечик может перепрыгнуть из точки A_i в точку A_j, если отрезок A_iA_j не пересекается ни с одним из отрезков A_kB_k,  k ≠ i, j.
Докажите, что за несколько прыжков кузнечик сможет попасть из каждой точки A_p в любую точку A_q.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109587  (#94.4.10.8)

Темы:   [ Раскраски ] [ Правило произведения ] [ Задачи с ограничениями ] [ Теория графов (прочее) ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

В городе Цветочном n площадей и m улиц  (m ≥ n + 1).  Каждая улица соединяет две площади и не проходит через другие площади. По существующей в городе традиции улица может называться либо Синей, либо Красной. Ежегодно в городе происходит переименование: выбирается площадь и переименовываются все выходящие из неё улицы. Докажите, что можно назвать улицы так, что переименованиями нельзя добиться одинаковых названий у всех улиц города.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями