Версия для печати
Убрать все задачи

---

Имеется 11 пустых коробок. За один ход можно положить по одной монете в какие-то 10 из них. Играют двое, ходят по очереди. Побеждает тот, после хода которого впервые в одной из коробок окажется 21 монета. Кто выигрывает при правильной игре?

   Решение

---

Числовая функция  f такова, что для любых x и y выполняется равенство  f(x + y) = f(x) + f(y) + 80xy.  Найдите  f(1), если  f(0,25) = 2.

   Решение

---

Каких чисел больше среди натуральных чисел от 1 до 1000000 включительно: представимых в виде суммы точного квадрата и точного куба или не представимых в таком виде?

   Решение

---

Существуют ли такие простые числа p₁, p₂, ..., p₂₀₀₇, что    делится на p₂,    делится на p₃, ...,    делится на p₁?

   Решение

---

Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдётся бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109631  (#96.5.9.1)

Темы:   [ Задачи с ограничениями ] [ Правило произведения ]

Сложность: 3 Классы: 9

Каких чисел больше среди натуральных чисел от 1 до 1000000 включительно: представимых в виде суммы точного квадрата и точного куба или не представимых в таком виде?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109632  (#96.5.9.2)

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Три окружности одного радиуса ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Центры O₁ , O₂ и O₃ трех непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек O₁ , O₂ и O₃ проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109633  (#96.5.9.3)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Пусть натуральные числа x, y, p, n и k таковы, что   xⁿ + yⁿ = p^k.
Докажите, что если число n  (n > 1)  нечётно, а число p нечётное простое, то n является степенью числа p (с натуральным показателем).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109634  (#96.5.9.4)

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Подсчет двумя способами ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

В Думе 1600 депутатов, которые образовали 16000 комитетов по 80 человек в каждом.
Докажите, что найдутся два комитета, имеющие не менее четырёх общих членов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109635  (#96.5.9.5)

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Разложение на множители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдётся бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями