Фильтр
Выбрано 4 задачи Убрать все задачи
Через точку пересечения высот остроугольного треугольника ABC проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.
РешениеДан параллелограмм ABCD, в котором AB = a, AD = b. Первая окружность имеет центр в вершине A и проходит через D, вторая имеет центр в C и проходит через D. Произвольная окружность с центром B пересекает первую окружность в точках M1, N1, а вторую – в точках M2, N2. Чему равно отношение M1N1 : M2N2?
РешениеЧерез центр O окружности Σ , описанной около треугольника ABC , проведена прямая, параллельная BC и пересекающая стороны AB и AC в точках B1 и C1 соответственно. Окружность σ проходит через точки B1 и C1 и касается Σ в точке K . Найдите угол между прямыми AK и BC . Найдите площадь треугольника ABC и радиус окружности Σ , если BC=8 , AK=5 , B1C1=5 .
РешениеВыпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол 90o . Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным
Решение
Задачи
Задача 109653 (#97.5.9.1) |
|
|
Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными
коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел x и y
справедливо неравенство (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²).
|
|
Решение |
Задача 109654 (#97.5.9.2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109655 (#97.5.9.3) |
|
Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием a×b и высотой c (a, b и c – натуральные числа) оклеена по клеточкам без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными рёбрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из чётного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если c нечётно, то число способов оклейки чётно.
|
|
|
Решение |
Задача 109656 (#97.5.9.4) |
|
|
Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого или чёрного цветов. Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Раз в минуту один из мудрецов должен выкрикнуть один из двух цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз). После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака. Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились и придумали, как минимизировать число казнённых. Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?
|
|
|
Решение |
Задача 109657 (#97.5.9.5) |
|
|
Существуют ли такие действительные числа b и c, что каждое из уравнений x² + bx + c = 0 и 2x² + (b + 1)x + c + 1 = 0 имеет по два целых корня?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
