Этапы:
-
Региональный этап
(28 задач)
Заключительный этап
(23 задачи)
Фильтр
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
Внутри треугольника ABC взята такая точка P, что
PAB : PAC = PCA : PCB = PBC : PBA = x. Докажите, что x = 1.
Решение
Докажите, что для каждого x такого, что sin x
0 , найдется такое
натуральное n , что | sin nx| 
.
Решение
Решение
Дан остроугольный треугольник ABC и точка P, не совпадающая с точкой пересечения его высот. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон треугольников PAB, PAC, PBC и ABC, а также окружность, проходящая через проекции точки P на стороны треугольника ABC, пересекаются в одной точке. Решение
Решение
Решение
Назовем медианой системы 2 n точек плоскости прямую, проходящую ровно через две из них, по обе стороны от которой точек этой системы поровну. Какое наименьшее количество медиан может быть у системы из 2 n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой? Решение
Убрать все задачи
a, b, c – любые положительные числа. Доказать, что
+
+
≥ 3/2.
РешениеВнутри треугольника ABC взята такая точка P, что
РешениеДокажите, что для каждого x такого, что sin x
РешениеНайти четырёхзначное число, являющееся точным квадратом и такое, что две первые цифры одинаковы между собой и две последние также.
РешениеДан остроугольный треугольник ABC и точка P, не совпадающая с точкой пересечения его высот. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон треугольников PAB, PAC, PBC и ABC, а также окружность, проходящая через проекции точки P на стороны треугольника ABC, пересекаются в одной точке.
РешениеДлина пути В неориентированном графе требуется найти длину минимального пути между двумя вершинами. Гарантируется, что путь существует. Входные данные Во входном файле записано сначала число N - количество вершин в графе (1<=N<=100). Затем записана матрица смежности (0 обозначает отсутствие ребра, 1 - наличие ребра). Затем записаны номера двух вершин - начальной и конечной. Выходные данные В выходной файл выведите одно число - длину пути (количество ребер, которые нужно пройти). Пример входного файла 5 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 5 Пример выходного файла 3
РешениеСумма пяти неотрицательных чисел равна единице.
Докажите, что их можно расставить по кругу так, что сумма всех пяти попарных произведений соседних чисел будет не больше ⅕.
РешениеНазовем медианой системы 2 n точек плоскости прямую, проходящую ровно через две из них, по обе стороны от которой точек этой системы поровну. Какое наименьшее количество медиан может быть у системы из 2 n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?
Решение
Задачи
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 56]
Назовем медианой системы 2 n точек плоскости прямую, проходящую ровно
через две из них, по обе стороны от которой точек этой системы поровну.
Какое наименьшее количество медиан может быть у системы из 2 n точек, никакие
три из которых не лежат на одной прямой?
Длина наибольшей стороны треугольника равна 1. Докажите, что три круга
радиуса 
с центрами в вершинах покрывают весь треугольник.
Дана функция f(x) = | 4 - 4|x|| - 2 . Сколько решений имеет уравнение f(f(x)) = x ?
есть по крайней мере два числа, равных n.
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 56]
Задача 109879 (#96.4.11.2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109880 (#96.4.11.3) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 109881 (#96.4.11.4) |
|
|
Многочлен P(x) степени n имеет n различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?
|
|
|
Решение |
Задача 109882 (#96.4.11.5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109883 (#96.4.11.6) |
|
|
Найдите все такие натуральные n, что при некоторых различных натуральных a, b, c и d среди чисел
|
|
|
Решение |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 56]
