Дан выпуклый четырёхугольник ABCD , и проведены биссектрисы l_A , l_B , l_C , l_D внешних углов этого четырёхугольника. Прямые l_A и l_B пересекаются в точке K , прямые l_B и l_C – в точке L , прямые l_C и l_D – в точке M , прямые l_D и l_A – в точке N . Докажите, что если окружности, описанные около треугольников ABK и CDM , касаются внешним образом, то и окружности, описанные около треугольников BCL и DAN , касаются внешним образом.

   Решение

На плоскости дано бесконечное множество точек S , при этом в любом квадрате 1×1 лежит конечное число точек из множества S . Докажите, что найдутся две разные точки A и B из S такие, что для любой другой точки X из S выполняются неравенства:

|XA|,|XB| 0,999|AB|.

   Решение

При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ , являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство

   Решение

На окружности расположена тысяча непересекающихся дуг, и на каждой из них написаны два натуральных числа. Сумма чисел каждой дуги делится на произведение чисел дуги, следующей за ней по часовой стрелке. Каково наибольшее возможное значение наибольшего из написанных чисел?

   Решение

Докажите, что для каждого x такого, что sin x 0 , найдется такое натуральное n , что | sin nx| .

   Решение

Каждую грань тетраэдра можно поместить в круг радиуса 1 . Докажите, что весь тетраэдр можно поместить в шар радиуса .

   Решение

Даны натуральные числа p<k<n . На бесконечной клетчатой плоскости отмечены некоторые клетки так, что в любом прямоугольнике (k+1)×n ( n клеток по горизонтали, k+1 – по вертикали) отмечено ровно p клеток. Докажите, что существует прямоугольник k×(n+1) (где n+1 клетка по горизонтали, k – по вертикали), в котором отмечено не менее p+1 клетки.

   Решение

В вершинах выпуклого n-угольника расставлены m фишек  (m > n).  За один ход разрешается передвинуть две фишки, стоящие в одной вершине, в соседние вершины: одну – вправо, вторую – влево. Докажите, что если после нескольких ходов в каждой вершине n-угольника будет стоять столько же фишек, сколько и вначале, то количество сделанных ходов кратно n.

   Решение

Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.

   Решение

На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через каждую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.

   Решение

а) В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов.

б) В 100 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 34 ящика, что в них окажется не менее трети всех яблок и не менее трети всех апельсинов.

   Решение

Многочлены P, Q и R с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству  P² + Q² = R².  Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени – действительные.

   Решение

Опишите все способы покрасить каждое натуральное число в один из трёх цветов так, чтобы выполнялось условие: если числа a, b и c (не обязательно различные) удовлетворяют условию  2000(a + b) = c,  то они либо все одного цвета, либо трёх разных цветов.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

Саша написал на доске ненулевую цифру и приписывает к ней справа по одной ненулевой цифре, пока не выпишет миллион цифр. Докажите, что на доске не более 100 раз был написан точный квадрат.

Прислать комментарий

Решение

Длины сторон многоугольника равны  a₁, a₂, ..., a_n.  Квадратный трёхчлен  f(x) таков, что  f(a₁) = f(a₂ + ... + a_n).
Докажите, что если A – сумма длин нескольких сторон многоугольника, B – сумма длин остальных его сторон, то  f(A) = f(B).

Прислать комментарий

Решение

В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1 проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1 с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2 проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1 и s2 , будут параллельны между собой.

Прислать комментарий

Решение

Опишите все способы покрасить каждое натуральное число в один из трёх цветов так, чтобы выполнялось условие: если числа a, b и c (не обязательно различные) удовлетворяют условию  2000(a + b) = c,  то они либо все одного цвета, либо трёх разных цветов.

Прислать комментарий

Решение

Проведено три семейства параллельных прямых, по 10 прямых в каждом. Какое наибольшее число треугольников они могут вырезать из плоскости?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]