Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 56]

Задача 110174 (#05.4.11.2)

Тема:

[

Тождественные преобразования

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Женодаров Р.Г.

Известно, что существует число S , такое, что если a+b+c+d=S и +++=S ( a , b , c , d отличны от нуля и единицы), то + + += S . Найти S .

Прислать комментарий Решение

Задача 110181 (#05.4.11.3)

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Ориентированные графы	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Отношение порядка	]

Сложность: 5-

Авторы: Богданов И.И., Челноков Г.Р.

Даны N ≥ 3 точек, занумерованных числами 1, 2, ..., N. Каждые две точки соединены стрелкой от меньшего номера к большему. Раскраску всех стрелок в красный и синий цвета назовем однотонной, если нет двух таких точек A и B, что от A до B можно добраться и по красным стрелкам, и по синим. Найдите количество однотонных раскрасок.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110199 (#05.4.11.4)

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

AA₁ и BB₁ – высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. Известно, что отрезок A₁B₁ пересекает среднюю линию, параллельную AB, в точке C'. Докажите, что отрезок CC' перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110175 (#05.4.11.5)

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Голованов А.С.

Докажите, что для любого многочлена P с целыми коэффициентами и любого натурального k существует такое натуральное n, что P(1) + P(2) + ... + P(n) делится на k.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110176 (#05.4.11.6)

Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Площадь четырехугольника	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]
	[	Тригонометрические неравенства	]
	[	Общие четырехугольники	]
	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Каждую вершину выпуклого четырехугольника площади S отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Обозначим площадь получившегося четырехугольника через S' . Докажите, что <3 .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 56]