Версия для печати
Убрать все задачи

---

Три кузнечика сидят на прямой так, что два крайних отстоят на 1 м от среднего. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если A прыгает через B в точку A₁, то  AB = BA₁).  Через некоторое время кузнечики оказались на тех же местах, что и вначале, но в другом порядке. Докажите, что поменялись местами крайние кузнечики.

   Решение

---

Пусть O — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, а E, F — точки пересечения продолжений сторон AB и CD, BC и AD соответственно. Прямая EO пересекает стороны AD и BC в точках K и L, а прямая FO пересекает стороны AB и CD в точках M и N. Докажите, что точка X пересечения прямых KN и LM лежит на прямой EF.

   Решение

---

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a . Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60^o . Найдите объём пирамиды.

   Решение

---

Точки A, B, C лежат на прямой l, а точки A₁, B₁, C₁ — на прямой l₁. Докажите, что точки пересечения прямых AB₁ и BA₁, BC₁ и CB₁, CA₁ и AC₁ лежат на одной прямой (Папп).

   Решение

---

В остроугольном треугольнике отметили отличные от вершин точки пересечения описанной окружности с высотами, проведенными из двух вершин, и биссектрисой, проведенной из третьей вершины, после чего сам треугольник стерли. Восстановите его.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115777

Темы:   [ Трапеции (прочее) ] [ Теорема синусов ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC  P и Q – середины диагоналей AC и BD соответственно.
Докажите, что если ∠DAQ = ∠CAB, то ∠PBA = ∠DBC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115783

Темы:   [ Частные случаи тетраэдров (прочее) ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 1. Из трёх углов при вершине пирамиды два – прямые.
Найдите наибольший объём пирамиды.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110752

Темы:   [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В остроугольном треугольнике отметили отличные от вершин точки пересечения описанной окружности с высотами, проведенными из двух вершин, и биссектрисой, проведенной из третьей вершины, после чего сам треугольник стерли. Восстановите его.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110761

Темы:   [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ ГМТ и вписанный угол ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Найдите геометрическое место точек пересечения высот треугольников, у которых даны середина одной стороны и основания высот, опущенных на две другие.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110763

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Назовём два неравных треугольника похожими, если можно обозначить их ABC и A'B'C' так, чтобы выполнялись равенства  AB = A'B',  AC = A'C'  и
∠B = ∠B'.  Существуют ли три попарно похожих треугольника?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями