Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]

Задача 111042

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда |PQ| = |QR|.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110770

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Внутри треугольника выбрана точка P такая, что

ÐPBA + ÐPCA = ÐPBC + ÐPCB.
Докажите, что AP ≥ AI, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда P совпадает с I.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110773

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Разложение на множители	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Найдите все такие пары (x, y) целых чисел, что 1 + 2^x + 2^2x+1 = y².

Прислать комментарий

Решение

Задача 110774

Темы:	[	Итерации	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Многочлен n-й степени имеет не более n корней	]
	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Пусть P(x) – многочлен степени n > 1 с целыми коэффициентами, k – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен
Q_k(x) = P(P(...P(P(x))...)) (P применён k раз). Докажите, что существует не более n целых чисел t, при которых Q_k(t) = t.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110776

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

a и b – натуральные числа. Покажите, что если 4ab – 1 делит (4a² – 1)², то a = b.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]