Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
Докажите, что среди всех четырехугольников с фиксированными длинами сторон наибольшую площадь имеет вписанный четырехугольник.
РешениеДано натуральное число n > 6. Рассматриваются натуральные числа, лежащие в промежутке (n(n – 1), n²) и взаимно простые с n(n – 1).
Докажите, что наибольший общий делитель всех таких чисел равен 1.
РешениеВнутри угла AOB взята точка C, опущены перпендикуляры CD на сторону OA и CE на сторону OB. Затем опущены перпендикуляры EM на сторону OA и DN на сторону OB. Доказать, что OC ⊥ MN.
РешениеВ выпуклом четырёхугольнике две стороны равны 1, а другие стороны и обе диагонали не больше 1. Какое максимальное значение может принимать периметр четырёхугольника?
РешениеСовременные системы управления базами данных поддерживают широкий класс различных операций с датами. Для решения этой задачи Вы должны написать программу, реализующую некоторые из таких операций. Ваша программа должна обрабатывать выражения следующих типов:
<Дата>
<Дата> + <Сдвиг>
<Дата> - <Сдвиг>
<Дата> - <Дата>
Здесь <Дата> задается в одном из следующих трех форматов:
А) дд.мм.гггг (например, 21.06.1998 ). В этой записи день и месяц задаются в точности двумя десятичными цифрами, год – ровно четырьмя.
Б) д месяца г года (например, 21 июня 1998 года ). В этом формате могут присутствовать ведущие нули (например, 01 июня 198 года ).
В) сегодня – текущая дата, установленная в компьютере.
<Сдвиг> задается в виде [L лет ] [M месяцев ] [N недель ] [D дней ]. Квадратные скобки здесь означают, что некоторые из указанных четырех составных частей могут опускаться (но не все сразу). Слова «лет», «месяцев», «недель», «дней» склоняются по правилам русского языка: 1 год, 5 лет, 2 месяца, 5 месяцев и т.д.
Значением выражений первых трех типов является дата. В случае
выражения первого типа значением является сама <Дата>. В случае выражений
второго и третьего типа вычисление искомой даты происходит следующим
образом: сначала прибавляется (либо вычитается) L лет, затем M месяцев, после
чего N недель и, наконец, D дней. Если в течение этого процесса получается
несуществующее число месяца, то берется последнее число этого месяца (см.
пример). Результатом выражения четвертого типа является количество дней
между двумя указанными датами.
Входные данные
Входной файл содержит последовательность выражений, каждое из которых
записано в отдельной строке. Большие и маленькие буквы в выражениях не
различаются.
Выходные данные
Для заданных выражений требуется вывести в выходной файл их значения в том
же порядке, в котором указаны выражения. Для выражений первых трех типов
нужно выдать дату в формате Б, а затем через запятую указать день недели,
соответствующий этой дате. Для выражений четвертого типа необходимо
вывести одно целое число. Каждое значение выводится в отдельную строку
выходного файла.
Пример входного файла
30 января 1998 года + 1 месяц 1 день
21 июня 1998 года - 1.06.1998
Пример выходного файла
1 марта 1998 года, воскресенье
20
РешениеКаждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.
РешениеПри изготовлении партии из N ≥ 5 монет работник по ошибке изготовил две монеты из другого материала (все монеты выглядят одинаково). Начальник знает, что таких монет ровно две, что они весят одинаково, но отличаются по весу от остальных. Работник знает, какие это монеты и что они легче остальных. Ему нужно, проведя два взвешивания на чашечных весах без гирь, убедить начальника в том, что фальшивые монеты легче настоящих, и в том, какие именно монеты фальшивые. Может ли он это сделать?
РешениеДано натуральное число n > 1. Для каждого делителя d числа n + 1, Петя разделил число n на d с остатком и записал на доску неполное частное, а в тетрадь – остаток. Докажите, что наборы чисел на доске и в тетради совпадают.
Решение
Задачи
Задача 111810 (#08.4.9.1) |
|
|
Числа a, b, c таковы, что a²(b + c) = b²(a + c) = 2008 и a ≠ b. Найдите значение выражения c²(a + b).
|
|
Решение |
Задача 111811 (#08.4.9.2) |
|
|
В клетках квадрата 5×5 изначально были записаны нули. Каждую минуту Вася выбирал две клетки с общей стороной и либо прибавлял по единице к числам в них, либо вычитал из них по единице. Через некоторое время оказалось, что суммы чисел во всех строках и столбцах равны. Докажите, что это произошло через чётное число минут.
|
|
|
Решение |
Задача 111812 (#08.4.9.3) |
|
Дан выпуклый шестиугольник P1P2P3P4P5P6, все стороны которого равны. Каждую его вершину отразили симметрично относительно прямой, проходящей через две соседние вершины. Полученные точки обозначили через Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 и Q6 соответственно. Докажите, что треугольники Q1Q3Q5 и Q2Q4Q6 равны.
|
|
|
Решение |
Задача 111813 (#08.4.9.4) |
|
|
Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена x² – ax + b – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид m/n. Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n2/3.
|
|
|
Решение |
Задача 111814 (#08.4.9.5) |
|
|
Дано натуральное число n > 1. Для каждого делителя d числа n + 1, Петя разделил число n на d с остатком и записал на доску неполное частное, а в тетрадь – остаток. Докажите, что наборы чисел на доске и в тетради совпадают.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
