Версия для печати
Убрать все задачи

---

У выпуклого многогранника одна вершина A имеет степень 5, а все остальные – степень 3. Назовём раскраску рёбер многогранника в синий, красный и лиловый цвета хорошей, если для каждой вершины степени 3 все выходящие из нее ребра покрашены в разные цвета. Оказалось, что количество хороших раскрасок не делится на 5. Докажите, что в одной из хороших раскрасок какие-то три последовательных ребра, выходящие из A , покрашены в один цвет.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111838  (#07.5.10.5)

Темы:   [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Неравенства с векторами ] [ Метод координат ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Дан набор из n>2 векторов. Назовем вектор набора длинным, если его длина не меньше длины суммы остальных векторов набора. Докажите, что если каждый вектор набора– длинный, то сумма всех векторов набора равна нулю.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111839  (#07.5.10.6)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

Две окружности σ₁ и σ₂ пересекаются в точках A и B . Пусть PQ и RS – отрезки общих внешних касательных к этим окружностям (точки P и R лежат на σ₁ , точки Q и S – на σ₂ ). Оказалось, что RB|| PQ . Луч RB вторично пересекает σ₂ в точке W . Найдите отношение RB/BW .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111840  (#07.5.10.7)

Темы:   [ Степень вершины ] [ Раскраски ] [ Остовы многогранных фигур ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

У выпуклого многогранника одна вершина A имеет степень 5, а все остальные – степень 3. Назовём раскраску рёбер многогранника в синий, красный и лиловый цвета хорошей, если для каждой вершины степени 3 все выходящие из нее ребра покрашены в разные цвета. Оказалось, что количество хороших раскрасок не делится на 5. Докажите, что в одной из хороших раскрасок какие-то три последовательных ребра, выходящие из A , покрашены в один цвет.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111849  (#07.5.10.8)

Темы:   [ Логика и теория множеств ] [ Оценка + пример ] [ Десятичные дроби (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9

Дима посчитал факториалы всех натуральных чисел от80 до 99, нашел числа, обратные к ним, и напечатал получившиеся десятичные дроби на 20 бесконечных ленточках (например, на последней ленточке было напечатано число =0, 10715.. ). Саша хочет вырезать из одной ленточки кусок, на котором записано N цифр подряд и нет запятой. При каком наибольшем N он сможет это сделать так, чтобы Дима не смог определить по этому куску, какую ленточку испортил Саша?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111826  (#07.5.11.1)

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Тригонометрические неравенства ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Докажите, что при k>10 в произведении

f(x) = cos x cos 2x cos 3x .. cos 2^k x
можно заменить один cos на sin так, что получится функция f₁(x) , удовлетворяющая при всех действительных x неравенству |f₁(x)| .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями