Версия для печати
Убрать все задачи

---

M и N — точки пересечения двух окружностей с центрами O₁ и O₂. Прямая O₁M пересекает 1-ю окружность в точке A₁, а 2-ю в точке A₂. Прямая O₂M пересекает 1-ю окружность в точке B₁, а 2-ю в точке B₂. Доказать, что прямые A₁B₁, A₂B₂ и MN пересекаются в одной точке.

   Решение

---

В некоторой школе более 90% учеников знают английский и немецкий языки, и более 90% учеников знают английский и французский языки.
Докажите, что среди учеников, знающих немецкий и французский языки, более 90% знают английский язык.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116028

Темы:   [ Задачи на проценты и отношения ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В некоторой школе более 90% учеников знают английский и немецкий языки, и более 90% учеников знают английский и французский языки.
Докажите, что среди учеников, знающих немецкий и французский языки, более 90% знают английский язык.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116029

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Концы N хорд разделили окружность на 2N дуг единичной длины. Известно, что каждая из хорд делит окружность на две дуги чётной длины.
Докажите, что число N чётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116034

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Известно, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AOB и COD, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники BOC и DOA. Докажите, что
  а) четырёхугольник ABCD – описанный;
  б) четырёхугольник ABCD симметричен относительно одной из своих диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116049

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Многоугольники (неравенства) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Имеется многоугольник. Для каждой стороны поделим её длину на сумму длин всех остальных сторон. Затем сложим все получившиеся дроби. Докажите, что полученная сумма меньше 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116210

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Шестиугольники ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Существует ли шестиугольник, который можно разбить одной прямой на четыре равных треугольника?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями