- 8-9 класс (6 задач)
- 10-11 класс (6 задач)
Фильтр
Выбрано 9 задач Убрать все задачи
Дан многочлен P(x) степени 2003 с действительными коэффициентами, причем старший коэффициент равен 1. Имеется бесконечная последовательность целых чисел a1, a2, ..., такая, что P(a1) = 0, P(a2) = a1, P(a3) = a2 и т. д. Докажите, что не все числа в последовательности a1, a2, ... различны.
Составьте из прямоугольников 1х1, 1х2, 1х3,…,1х13 прямоугольник, каждая сторона которого больше 1.
В остроугольном треугольнике ABC AA1, BB1 и CC1 – высоты. Прямые AA1 и B1C1 пересекаются в точке K. Окружности, описанные вокруг треугольников A1KC1 и A1KB1, вторично пересекают прямые AB и AC в точках N и L соответственно. Докажите, что
а) сумма диаметров этих окружностей равна стороне BC.
б)
Даны квадратные трёхчлены f и g с одинаковыми старшими коэффициентами. Известно, что сумма четырёх корней этих трёхчленов
равна р. Найдите сумму корней трёхчлена f + g, если известно, что он имеет два корня.
Три натуральных числа таковы, что произведение каждых двух из них делится на сумму этих двух чисел.
Докажите, что эти три числа имеют общий делитель, больший единицы.
Набор чисел a0, a1, ..., an удовлетворяет условиям: a0 = 0,
ak+1 ≥ ak + 1 при k = 0, 1, ..., n – 1. Докажите неравенство
Каждая клетка клетчатой плоскости раскрашена в один из n² цветов так, что в каждом квадрате из n× клеток встречаются все цвета. Известно, что в какой-то строке встречаются все цвета. Докажите, что существует столбец, раскрашенный ровно в n цветов.
На доске написаны n > 3 различных натуральных чисел, меньших чем (n – 1)!. Для каждой пары этих чисел Серёжа поделил большее на меньшее с остатком и записал в тетрадку полученное неполное частное (так, если бы он делил 100 на 7, то он бы получил 100 = 14·7 + 2 и записал бы в тетрадку число 14). Докажите, что среди чисел в тетрадке найдутся два равных.
ABCDE — правильный пятиугольник. Tочка B' симметрична точке B относительно прямой AC (см. рисунок). Mожно ли пятиугольниками, равными AB'CDE, замостить плоскость?
Задачи Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
Задача 116184 |
|
|
В шестиугольнике пять углов по 90°, а один угол — 270° (см. рисунок). C помощью линейки без делений разделите его на два равновеликих многоугольника.
|
|
Решение |
Задача 116185 |
|
|
Дан параллелограм ABCD. Прямая, параллельная AB, пересекает
биссектрисы углов A и C в точках P и Q соответственно.
Докажите, что углы ADP и ABQ равны.
|
|
|
Решение |
Задача 116190 |
|
|
Дан остроугольный треугольник ABC. Прямая, параллельная BC, пересекает стороны AB и AC в точках M и P соответственно. При каком расположении точек M и P радиус окружности, описанной около треугольника BMP, будет наименьшим?
|
|
|
Решение |
Задача 116192 |
|
|
ABCDE — правильный пятиугольник. Tочка B' симметрична точке B относительно прямой AC (см. рисунок). Mожно ли пятиугольниками, равными AB'CDE, замостить плоскость?
|
|
Решение |
Задача 116186 |
|
|
В треугольнике ABC на стороне AB выбраны точки K и L так, что AK = BL, а на стороне BC — точки M и N так, что CN = BM. Докажите, что KN + LM ≥ AC.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
