Версия для печати
Убрать все задачи

---

A – вершина правильного звёздчатого пятиугольника. Ломаная AA'BB'CC'DD'EE' является его внешним контуром. Прямые AB и DE продолжены до пересечения в точке F. Докажите, что многоугольник ABB'CC'DED' равновелик четырёхугольнику AD'EF.

   Решение

---

Дан равнобедренный треугольник ABC,  AB = BC.  В описанной окружности Ω треугольника ABC проведён диаметр CC'. Прямая, проходящая через точку C' параллельно BC, пересекает отрезки AB и AC в точках M и P соответственно. Докажите, что M – середина отрезка C'P.

   Решение

---

Даны пять точек, расстояние между любыми двумя из них больше 2. Верно ли, что расстояние между какими-то двумя из них больше 3, если эти 5 точек расположены

a) на плоскости;

б) в пространстве?

   Решение

---

По данным точкам $A$ и $B$ на плоскости требуется построить на луче $AB$ точку $С$, удовлетворяющую условию $AC = 2 AB$. Можно ли это сделать, пользуясь одним лишь циркулем неизменного раствора $r$, если а) $AB < 2r$; б)$AB \ge 2r$?

   Решение

---

100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116391  (#1)

Темы:   [ Системы точек ] [ Геометрические неравенства (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Петя отметил на плоскости несколько (больше двух) точек, все расстояния между которыми различны. Пару отмеченных точек  (A, B)  назовём необычной, если A – самая дальняя от B отмеченная точка, а B – ближайшая к A отмеченная точка (не считая самой точки A). Какое наибольшее возможное количество необычных пар могло получиться у Пети?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116397  (#7)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116389  (#2)

Тема:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Известно, что  0 < a, b, c, d < 1  и  abcd = (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d).  Докажите, что   (a + b + c + d) – (a + c)(b + d) ≥ 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116393  (#3)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

В треугольнике ABC точки A₁, B₁, C₁ – основания высот из вершин A, B, C, точки C_А и C_В – проекции C₁ на AC и BC соответственно.
Докажите, что прямая C_АC_В делит пополам отрезки C₁A₁ и C₁B₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116394  (#4)

Темы:   [ Многоугольники (прочее) ] [ Кривые второго порядка ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Соображения непрерывности ] [ Общие четырехугольники ] [ Доказательство от противного ] [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Существует ли выпуклый N-угольник, все стороны которого равны, а все вершины лежат на параболе  y = x²,  если
  а)  N = 2011;
  б)  N = 2012?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями