Версия для печати
Убрать все задачи

---

В таблице  n×n  разрешается добавить ко всем числам любого несамопересекающегося замкнутого маршрута ладьи по 1. В первоначальной таблице по диагонали стояли единицы, а остальные были нули. Можно ли с помощью нескольких разрешённых преобразований добиться того, что все числа в таблице станут равны? (Считается, что ладья побывала во всех клетках таблицы, через которые проходит её путь.)

   Решение

---

На доску последовательно записываются натуральные числа. На n-м шаге (когда написаны числа  a₁, a₂, ..., a_n–1)  пишется любое число, которое нельзя представить в виде суммы  a₁k₁ + a₂k₂ + ... + a_n–1k_n–1,  где k_i – целые неотрицательные числа (на a₁ никаких ограничений не накладывается). Доказать, что процесс написания чисел не может быть бесконечным.

   Решение

---

В шести корзинах лежат груши, сливы и яблоки. Число слив в каждой корзине равно числу яблок в остальных корзинах вместе взятых, а число яблок в каждой корзине равно числу груш в остальных корзинах вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 44]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116406

Тема:   [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]

Сложность: 2 Классы: 8,9

В шести корзинах лежат груши, сливы и яблоки. Число слив в каждой корзине равно числу яблок в остальных корзинах вместе взятых, а число яблок в каждой корзине равно числу груш в остальных корзинах вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116238

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так, чтобы получились 1 белый, 3 серых и 5 чёрных квадратов, причём одноцветные квадраты были бы равны, а разноцветные квадраты – не равны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116255

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

В 10 одинаковых кувшинов было разлито молоко – не обязательно поровну, но каждый оказался заполнен не более чем на 10%. За одну операцию можно выбрать кувшин и отлить из него любую часть поровну в остальные кувшины. Докажите, что не более чем за 10 таких операций можно добиться, чтобы во всех кувшинах молока стало поровну.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116411

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]

Сложность: 3- Классы: 9,10,11

Из Южной Америки в Россию 2010 кораблей везут бананы, лимоны и ананасы. Число бананов на каждом корабле равно числу лимонов на остальных кораблях вместе взятых, а число лимонов на каждом корабле равно числу ананасов на остальных кораблях вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116239

Темы:   [ Взвешивания ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Есть 40 гирек массой 1 г, 2 г, ..., 40 г. Из них выбрали 10 гирь чётной массы и положили на левую чашу весов. Затем выбрали 10 гирь нечётной массы и положили на правую чашу весов. Весы оказались в равновесии. Докажите, что на какой-нибудь чаше есть две гири с разностью масс в 20 г.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 44]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями