Страница:
<< 3 4 5 6 7 8
9 >> [Всего задач: 45]
Вершины правильного 45-угольника раскрашены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три треугольника, образованные выбранными одноцветными вершинами, были равны.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Пусть p – простое число. Набор из p + 2 натуральных чисел (не обязательно различных) назовём интересным, если сумма любых p из них делится на каждое из двух оставшихся чисел. Найдите все интересные наборы.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Докажите, что для любого натурального n существуют такие целые числа a1, a2, ..., an, что при всех целых x число
(...((x² + a1)² + a2)² + ... + an–1)² + an делится на 2n – 1.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Докажите, что при n > 1 число 11 + 3³ + ... + (2n – 1)2n – 1 делится на 2n, но не делится на 2n+1.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Банк обслуживает миллион клиентов, список которых известен Остапу Бендеру.
У каждого есть свой PIN-код из шести цифр, у разных клиентов коды разные. Остап Бендер за один ход может выбрать любого клиента, которого он еще не выбирал, и подсмотреть у него цифры кода на любых N позициях (у разных клиентов он может выбирать разные позиции). Остап хочет узнать код миллионера Корейко. При каком наименьшем N он гарантированно сможет это сделать?
Страница:
<< 3 4 5 6 7 8
9 >> [Всего задач: 45]
Фильтр
Решение 
