Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 73641 (#М106)

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Шарыгин И.Ф.

Докажите, что если для чисел p₁, p₂, q₁ и q₂ выполнено неравенство (q₁ – q₂)² + (p₁ – p₂)(p₁q₂ – p₂q₁) < 0, то квадратные трёхчлены
x² + p₁x + q₁ и x² + p₂x + q₂ имеют вещественные корни, причём между двумя корнями каждого из них лежит корень другого.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73642 (#М107)

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

а) Дан выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. На стороне A₁A₂ взяты точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, ..., на стороне A_nA₁ – точки B_n и D₁ так, что если построить параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂, ..., A_nB_nC_nD_n, то прямые A₁C₁, A₂C₂, ..., A_nC_n пересекутся в одной точке. Докажите равенство A₁B₁·A₂B₂·...·A_nB_n = A₁D₁·A₂D₂·...·A_nD_n.

б) Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне A₁A₂ выбраны точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, а на стороне A₃A₁ – точки B₃ и D₁ так, что A₁B₁·A₂B₂·A₃B₃ = A₁D₁·A₂D₂· A₃D₃, то, построив параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂ и A₃B₃C₃D₃, получим прямые A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃, пересекающиеся в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56790 (#М108)

Темы:	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Периметр треугольника	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Ионин Ю.И.

а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 30760 (#М109)

Темы:	[	Инварианты	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа 1 и –1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят единицы. Разрешается изменять знак в любых k подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы единственное число –1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если а) k = 3; б) k = 4; в) k = 6.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58212 (#М110)

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Разрезания на параллелограммы	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Автор: Розенблюм Г.В.

На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток составит не менее 1/5 и не более 4/5 площади K.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]