Каталог по источникам

Выбрано 8 задач

Значение многочлена P_n(x) = a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₁x + a₀ (a_n ≠ 0) в точке x = c можно вычислить, используя ровно n умножений. Для этого нужно представить многочлен P_n(x) в виде P_n(x) = (...(a_nx + a_n–1)x + ... + a₁)x + a₀. Пусть b_n, b_n–1, ..., b₀ – это значения выражений, которые получаются в процессе вычисления P_n(c), то есть b_n = a_n, b_k = cb_k+1 + a_k (k = n – 1, ..., 0). Докажите, что при делении многочлена P_n(x) на x – c с остатком, у многочлена в частном коэффициенты будут совпадать с числами b_n–1, ..., b₁, а остатком будет число b₀. Таким образом, будет справедливо равенство:
P_n(x) = (x – c)(b_nx^n–1 + ... + b₂x + b₁) + b₀.

Решение

Автор: Богданов И.И.

На гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC выбрана точка K так, что AB = AK. Отрезок AK пересекает биссектрису CL в её середине.
Найдите острые углы треугольника ABC.

Решение

Автор: Берлов С.Л.

Докажите, что для любого натурального числа n > 1 найдутся такие натуральные числа a, b, c, d, что a + b = c + d = ab – cd = 4n.

Решение

На сторонах произвольного треугольника ABC вне его построены равнобедренные треугольники A'BC, AB'C и ABC' с вершинами A', B' и C' и углами $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ при этих вершинах, причем $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = 2 $\pi$ . Докажите, что углы треугольника A'B'C' равны $\alpha$ /2, $\beta$ /2, $\gamma$ /2.

Решение

При каких n многочлен 1 + x² + x⁴ + ... + x^2n–2 делится на 1 + x + x² + ... + x^n–1?

Решение

Докажите, что 2(x² + y²) ≥ (x + y)² при любых x и y.

Решение

Построить треугольник ABC по трем точкам H₁, H₂ и H₃, которые являются симметричными отражениями точки пересечения высот искомого треугольника относительно его сторон.

Решение

Каждое из рёбер полного графа с 6 вершинами покрашено в один из двух цветов.
Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.

Решение

Задача 21995 (#32)

Задача 30815 (#33)

Задача 30816 (#34)

Задача 31104 (#36)

Задача 30818 (#37)