Каталог по источникам

Выбрано 16 задач

Версия для печати
Убрать все задачи

При каких a многочлен P(x) = a³x⁵ + (1 – a)x⁴ + (1 + a³)x² + (1 – 3a)x – a³ делится на x – 1?

Решение

Докажите, что ни при каком натуральном m число 1998^m – 1 не делится на 1000^m – 1.

Решение

Докажите, что пучок лучей света, параллельных оси параболы, после отражения от параболы сходится в ее фокусе.

Решение

Сколько цифр имеет число 2¹⁰⁰?

Решение

Постройте треугольник по двум углам A, B и периметру P.

Решение

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что S_AOB = S_COD тогда и только тогда, когда BC || AD.

Решение

В четырёхугольник ABCD вписан эллипс с фокусом F. Докажите, что $\angle$ AFB + $\angle$ CFD = 180^o.

Решение

Потроить треугольник по высоте к стороне а h_a, медиане к стороне a m_a и $\angle$ A.

Решение

Длины сторон параллелограмма равны a и b, длины диагоналей — m и n. Докажите, что a⁴ + b⁴ = m²n² тогда и только тогда, когда острый угол параллелограмма равен 45^o.

Решение

Пусть AA' и BB' — сопряженные диаметры эллипса с центром O. Докажите, что:
а) площадь треугольника AOB не зависит от выбора сопряженных диаметров;
б) величина OA²+OB² не зависит от выбора сопряженных диаметров.

Решение

На окружности отмечено десять точек. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся девятизвенных ломаных с вершинами в этих точках?

Решение

Двойным отношением четырёх комплесных чисел называется число (см. задачу 61180). Пусть w₁, w₂, w₃, w₄ – четыре точки плоскости, в которые дробно-линейное отображение переводит данные четыре точки z₁, z₂, z₃, z₄. Докажите, что
W(w₁, w₂, w₃, w₄) = W(z₁, z₂, z₃, z₄).

Решение

На окружности даны точки A₁, A₂,..., A₁₆. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек A₁, A₂,..., A₁₆. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых A₁ является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых A₁ в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?

Решение

Треугольник ABC вписан в окружность радиуса R с центром O. Докажите, что площадь подерного треугольника точки P относительно треугольника ABC (см. задачу 5.99) равна ${\frac{1}{4}}$ $\left\vert\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right.$ 1 - ${\frac{d^2}{R^2}}$ $\left.\vphantom{1-\frac{d^2}{R^2}}\right\vert$ S_ABC, где d = PO.

Решение

Докажите, что середины параллельных хорд параболы лежат на одной прямой, параллельной оси параболы.

Решение

Придя в тир, Петя купил 5 пуль. За каждый успешный выстрел ему дают еще 5 пуль. Петя утверждает, что он сделал 50 выстрелов и 8 раз попал в цель, а его друг Вася говорит, что этого не может быть. Кто из мальчиков прав?

Решение

Задача 32013

Задача 32038

Задача 32041

Задача 32043

Задача 32050