Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите следующие формулы:

aⁿ⁺¹ – bⁿ⁺¹ = (a – b)(aⁿ + a^n–1b + ... + bⁿ);

a²ⁿ⁺¹ + b²ⁿ⁺¹ = (a + b)(a²ⁿ – a^2n–1b + a^2n–2b² – ... + b²ⁿ).

   Решение

---

Натуральные числа x, y, z таковы, что  x² + y² = z².  Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

   Решение

---

Докажите, что при центральной симметрии окружность переходит в окружность.

   Решение

---

Из пункта A в пункт B выехал велосипедист. Одновременно из пункта B в пункт A навстречу велосипедисту вышел пешеход. После их встречи велосипедист повернул обратно, а пешеход продолжил свой путь. Известно, что велосипедист вернулся в пункт A на 30 минут раньше пешехода, при этом его скорость была в 5 раз больше скорости пешехода. Сколько времени затратил пешеход на путь из A в B?

   Решение

---

Стороны BA, AC и CB равностороннего треугольника продолжены соответственно за точки A, C и B, на продолжениях отложены равные отрезки AD, CE и BF. Докажите, что треугольник DEF – равносторонний.

   Решение

---

a и b – натуральные числа, причём число  a² + b²  делится на 21. Докажите, что оно делится и на 441.

   Решение

---

Прямая, проходящая через центры двух окружностей называется их линией центров.
Докажите, что общие внешние (внутренние) касательные к двум окружностям пересекаются на линии центров этих окружностей.

   Решение

---

Сколько существует пар натуральных чисел, у которых наименьшее общее кратное (НОК) равно 2000?

   Решение

Страница: << 170 171 172 173 174 175 176 >> [Всего задач: 7526]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 35056

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

На плоскости даны 10 точек: несколько из них – белые, а остальные – чёрные. Некоторые точки соединены отрезками. Назовём точку особой, если более половины соединенных с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Каждым ходом выбирается одна из особых точек (если такие есть) и перекрашивается в противоположный цвет. Докажите, что через несколько ходов не останется ни одной особой точки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35065

Темы:   [ Вычисление площадей ] [ Перегруппировка площадей ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

На листе бумаги нарисован выпуклый многоугольник M периметра P и площади S. Закрасили каждый круг радиуса R с центром в каждой точке, лежащей внутри этого многоугольника. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35070

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Покрытия ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD отметили точки E, F, G, H соответственно.
Докажите, что описанные круги треугольников HAE, EBF, FCG и GDH покрывают четырёхугольник ABCD целиком.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35071

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Правило произведения ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Количество и сумма делителей числа ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Сколько существует пар натуральных чисел, у которых наименьшее общее кратное (НОК) равно 2000?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35081

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Двум гениям сообщили по натуральному числу и сказали, что эти числа отличаются на 1. После этого они по очереди задают друг другу один и тот же вопрос: "Знаешь ли ты мое число?". Докажите, что рано или поздно один из них ответит положительно.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 170 171 172 173 174 175 176 >> [Всего задач: 7526]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями