Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём  ace ≠ 0.  Известно, что значения выражений  |ax + b| + |cx + d|  и  |ex + f |  равны при всех значениях x.
Докажите, что  ad = bc.

   Решение

---

Числа a и b таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов  x² + ax + b  и  x² + bx + a  имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.

   Решение

---

Вычислите .

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 35621

Темы:   [ Вычисление интегралов ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ]

Сложность: 4- Классы: 11

Вычислите .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108170

Темы:   [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Формулы для площади треугольника ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

На сторонах AB , BC и AC треугольника ABC взяты точки C' , A' и B' соответственно. Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна

,
где R – радиус описанной окружности треугольника ABC .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107843

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Замена переменных ] [ Тождественные преобразования ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Положительные числа a, b и c таковы, что  abc = 1.  Докажите неравенство

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107842

Темы:   [ Правильный тетраэдр ] [ Основные свойства и определения правильных многогранников ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Можно ли разбить правильный тетраэдр с ребром 1 на правильные тетраэдры и октаэдры, длины ребер каждого из которых меньше 1/100?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107841

Темы:   [ Инварианты ] [ Производная в точке ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

  На доске написаны три функции:  f₁(x) = x + ¹/_x,   f₂(x) = x²,   f₃(x) = (x – 1)².  Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию ¹/_x.
  Докажите, что если стереть с доски любую из функций  f₁,  f₂,  f₃, то получить ¹/_x невозможно.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями