Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]

Задача 37001 (#1)

Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	ГМТ - прямая или отрезок	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Автор: Волчкевич М.А.

Точки Е и F – середины сторон ВС и AD выпуклого четырёхугольника АВСD. Докажите, что отрезок EF делит диагонали АС и BD в одном и том же отношении.

Прислать комментарий

Решение

Задача 37002 (#2)

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Ломаные	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Призма (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Существует ли в пространстве замкнутая самопересекающаяся ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём в его середине?

Прислать комментарий

Решение

Задача 37003 (#3)

Темы:	[	Построения одной линейкой	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Описанные четырехугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

На доске была нарисована окружность с отмеченным центром, вписанный в неё четырёхугольник и окружность, вписанная в него, также с отмеченным центром. Затем стерли четырёхугольник (сохранив одну вершину) и вписанную окружность (сохранив её центр). Восстановите какую-нибудь из стертых вершин четырёхугольника, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий.

Прислать комментарий

Решение

Задача 37004 (#4)

Темы:	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Признаки равенства прямоугольных треугольников	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]

Сложность: 4-
Классы: 10

Авторы: Берлов С.Л., Емельянов Л.А., Кожевников П.А.

В треугольнике АВС М – точка пересечения медиан, О – центр вписанной окружности.
Докажите, что если прямая ОМ параллельна стороне ВС, то точка О равноудалена от середин сторон АВ и АС.

Прислать комментарий

Решение

Задача 37005 (#5)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

Трапеция АВСD с основаниями AB и CD вписана в окружность. Докажите, что четырёхугольник, образованный ортогональными проекциями любой точки этой окружности на прямые AC, BC, AD и BD, является вписанным.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]