При организации экспедиции на Эверест участниками было установлено четыре высотных лагеря (не считая базового), на растоянии дня пути друг от друга, после чего все спустились вниз. Пересчитав запасы, руководитель решил, что надо занести еще один баллон кислорода в четвертый лагерь, а потом всем опять вернуться вниз на отдых. При этом каждый участник
1) может нести вверх не больше трех баллонов,
2) сам тратит в день ровно один баллон кислорода.
Какое наименьшее количество баллонов придется взять из лагеря для достижения поставленной цели? (Оставлять баллоны можно только в лагерях.)

   Решение

а) В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Прямые AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CA и C₁A₁ пересекаются в точках C', A' и B'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на радикальной оси окружности девяти точек и описанной окружности.
б) Биссектрисы внешних углов треугольника ABC пересекают продолжения противоположных сторон в точках A', B' и C'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      

На стороне BC треугольника ABC взята точка A'. Серединный перпендикуляр к отрезку A'B пересекает сторону AB в точке M, а серединный перпендикуляр к отрезку A'C пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что точка, симметричная точке A' относительно прямой MN, лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Решите задачу 1.67, используя свойства радикальной оси.

Прислать комментарий

Решение

Внутри выпуклого многоугольника расположено несколько попарно непересекающихся кругов различных радиусов. Докажите, что многоугольник можно разрезать на маленькие многоугольники так, чтобы все они были выпуклыми и в каждом из них содержался ровно один из данных кругов.

Прислать комментарий

Решение

а) В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Прямые AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CA и C₁A₁ пересекаются в точках C', A' и B'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на радикальной оси окружности девяти точек и описанной окружности.
б) Биссектрисы внешних углов треугольника ABC пересекают продолжения противоположных сторон в точках A', B' и C'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]