Версия для печати
Убрать все задачи

---

В гоночном турнире 12 этапов и n участников. После каждого этапа все участники в зависимости от занятого места k получают баллы a_k (числа a_k натуральны, и  a₁ > a₂ > ... > a_n).  При каком наименьшем n устроитель турнира может выбрать числа a₁, ..., a_n так, что после предпоследнего этапа при любом возможном распределении мест хотя бы двое участников имели шансы занять первое место.

   Решение

---

Докажите, что для каждого x такого, что sin x 0 , найдется такое натуральное n , что | sin nx| .

   Решение

---

Докажите, что если для чисел p₁, p₂, q₁ и q₂ выполнено неравенство  (q₁ – q₂)² + (p₁ – p₂)(p₁q₂ – p₂q₁) < 0,  то квадратные трёхчлены
x² + p₁x + q₁  и  x² + p₂x + q₂  имеют вещественные корни, причём между двумя корнями каждого из них лежит корень другого.

   Решение

---

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, ∠AMB = 60°. На сторонах AD и BC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ADK и BCL. Прямая KL пересекает описанную около ABCD окружность в точках P и Q. Докажите, что PK = LQ.

   Решение

---

Длина каждой стороны и каждой не главной диагонали выпуклого шестиугольника не превосходит 1. Докажите, что в этом шестиугольнике найдется главная диагональ, длина которой не превосходит .

   Решение

---

Кубик 3*3*3 нетрудно распилить на 27 кубиков шестью распилами. Можно ли уменьшить число распилов, если разрешается распиливать несколько кусков сразу и перекладывать части?

   Решение

---

Каждое неотрицательное целое число представимо, причём единственным образом, в виде     где x и y – целые неотрицательные числа. Докажите это.

   Решение

---

Произведение квадратных трёхчленов  x² + a₁x + b₁,  x² + a₂x + b₂,  ...,  x² + a_nx + b_n  равно многочлену  P(x) = x²ⁿ + c₁x^2n–1 + c₂x^2n–2 + ... + c_2n–1x + c_2n,  где коэффициенты  c₁, c₂, ..., c_2n  положительны. Докажите, что для некоторого k  (1 ≤ k ≤ n)  коэффициенты a_k и b_k положительны.

   Решение

---

Стороны синего и зеленого правильных треугольников соответственно параллельны. Периметр синего треугольника равен 4, а периметр зеленого треугольника равен 5. Найдите периметр шестиугольника, полученного в пересечении этих треугольников.

   Решение

---

а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73641  (#М106)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что если для чисел p₁, p₂, q₁ и q₂ выполнено неравенство  (q₁ – q₂)² + (p₁ – p₂)(p₁q₂ – p₂q₁) < 0,  то квадратные трёхчлены
x² + p₁x + q₁  и  x² + p₂x + q₂  имеют вещественные корни, причём между двумя корнями каждого из них лежит корень другого.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73642  (#М107)

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

а) Дан выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. На стороне A₁A₂ взяты точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, ..., на стороне A_nA₁ – точки B_n и D₁ так, что если построить параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂, ..., A_nB_nC_nD_n, то прямые A₁C₁, A₂C₂, ..., A_nC_n пересекутся в одной точке. Докажите равенство  A₁B₁·A₂B₂·...·A_nB_n = A₁D₁·A₂D₂·...·A_nD_n.

б) Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне A₁A₂ выбраны точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, а на стороне A₃A₁ – точки B₃ и D₁ так, что  A₁B₁·A₂B₂·A₃B₃ = A₁D₁·A₂D₂· A₃D₃,  то, построив параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂ и A₃B₃C₃D₃, получим прямые A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃, пересекающиеся в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56790  (#М108)

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Периметр треугольника ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30760  (#М109)

Темы:   [ Инварианты ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа 1 и –1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят единицы. Разрешается изменять знак в любых k подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы единственное число –1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если   а)  k = 3;   б)  k = 4;   в)  k = 6.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58212  (#М110)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Разрезания на параллелограммы ] [ Неравенства с площадями ] [ Целочисленные решетки (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток составит не менее  1/5 и не более  4/5 площади K.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями