Версия для печати
Убрать все задачи

---

Доказать, что существует бесконечно много таких пар  (a, b)  натуральных чисел, что  a² + 1  делится на b, а  b² + 1  делится на a.

   Решение

---

Назовем тропинкой замкнутую траекторию на плоскости, состоящую из дуг окружностей и проходящую через каждую свою точку ровно один раз. Приведите пример тропинки и такой точки M на ней, что любая прямая, проходящая через M, делит тропинку пополам, то есть сумма длин всех кусков тропинки в одной полуплоскости равна сумме длин всех кусков тропинки в другой полуплоскости.

   Решение

---

Основания AD и BC трапеции ABCD равны a и b  (a > b).
  а) Найдите длину отрезка, высекаемого диагоналями на средней линии.
  б) Найдите длину отрезка MN, концы которого делят стороны AB и CD в отношении  AM : MB = DN : NC = p : q.

   Решение

---

Есть шесть монет, одна из которых фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но её вес, как и вес настоящей монеты, неизвестен).
Как за три взвешивания с помощью весов, показывающих общий вес взвешиваемых монет, найти фальшивую монету?

   Решение

---

На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбраны точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABM, ABK, CBM и CBK лежат на одной окружности.

   Решение

---

Пусть  x = sin 18°.  Докажите, что  4x² + 2x = 1.

   Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 176]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 56881  (#05.046)

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ] [ Разложение на множители ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Пусть  x = sin 18°.  Докажите, что  4x² + 2x = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56882  (#05.048B)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Средняя линия треугольника ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В треугольнике ABC сторона AB больше стороны BC. Пусть A₁ и B₁ – середины сторон BC и AC, а B₂ и C₂ – точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB. Докажите, что отрезки A₁B₁ и B₂C₂ пересекаются в точке X, лежащей на биссектрисе угла B.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56883  (#05.047)

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Средняя линия треугольника ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Докажите, что проекции вершины A треугольника ABC на биссектрисы внешних и внутренних углов при вершинах B и C лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52466  (#05.048)  [Теорема Штейнера-Лемуса]

Темы:   [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Неравенства с биссектрисами ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Докажите, что если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56885  (#05.049)

Темы:   [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

а) В треугольниках ABC и A'B'C' равны стороны AC и A'C', углы при вершинах B и B' и биссектрисы углов B и B'.
Докажите, что эти треугольники равны (точнее говоря, треугольник ABC равен треугольнику A'B'C' или треугольнику C'B'A').
б) Через точку D биссектрисы BB₁ угла ABC проведены прямые AA₁ и CC₁ (точки A₁ и C₁ лежат на сторонах треугольника).
Докажите, что если  AA₁ = CC₁,  то  AB = BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 176]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями