ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Параграфы:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи Через точку O пересечения медиан треугольника ABC
проведена прямая, пересекающая его стороны в точках M и N. Докажите,
что
NO Можно ли замостить доминошками 1×2 шахматную доску 8×8, из которой
вырезаны На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD взяты соответственно точки P, Q, R и Sб O – точка пересечения отрезков PR и QS. Докажите неравенство: |x1 + ... + xn| ≤ |x1| + ... + |xn|, где x1,..., xn — произвольные числа. Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что XA·BC = XB·AC = XC·AB; I1, I2, I3 – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI1, BI2 и CI3 пересекаются в одной точке. 11 пионеров занимаются в пяти кружках дома культуры. Докажите, что найдутся два пионера А и В такие, что все кружки, которые посещает А, посещает и В.
Дан треугольник ABC площади 1. Из вершины B опущен перпендикуляр BM на биссектрису угла C. Найдите площадь треугольника AMC. Дано 11 различных натуральных чисел, не больших 20. Докажите, что из них можно выбрать два числа, одно из которых делится на другое. Прямая, проходящая через вершину B треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке K, а описанную окружность в точке M. На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD построены внутренним образом правильные треугольники ABK, BCL, CDM и DAN. Докажите, что середины сторон этих треугольников (не являющихся сторонами квадрата) и середины отрезков KL, LM, MN и NK образуют правильный двенадцатиугольник. |
Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 110]
а) Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF попарно
параллельны. Докажите, что этот шестиугольник вписанный тогда и только тогда,
когда его диагонали AD, BE и CF равны.
Число сторон многоугольника A1...An нечётно. Докажите, что:
Все углы выпуклого многоугольника A1...An равны, и из некоторой его внутренней точки O все стороны видны под равными углами.
Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом и затем стянута так, чтобы узел стал плоским (см. рис.).
На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD построены внутренним образом правильные треугольники ABK, BCL, CDM и DAN. Докажите, что середины сторон этих треугольников (не являющихся сторонами квадрата) и середины отрезков KL, LM, MN и NK образуют правильный двенадцатиугольник.
Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 110]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке