- Вводные задачи (4 задачи)
- параграф 1. Вписанные и описанные четырехугольники (20 задач)
- параграф 2. Четырехугольники (16 задач)
- параграф 3. Теорема Птолемея (11 задач)
- параграф 4. Пятиугольники (4 задачи)
- параграф 5. Шестиугольники (6 задач)
- параграф 6. Правильные многоугольники (24 задачи)
- параграф 7. Вписанные и описанные многоугольники (10 задач)
- параграф 8. Произвольные выпуклые многоугольники (5 задач)
- параграф 9. Теорема Паскаля (10 задач)
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Через точку O пересечения медиан треугольника ABC
проведена прямая, пересекающая его стороны в точках M и N. Докажите,
что
NO 2MO.
Можно ли замостить доминошками 1×2 шахматную доску 8×8, из которой
вырезаны
а) клеточки b3 и e7;
б) два противоположных угловых поля (a1 и h8)?
На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD взяты соответственно точки P, Q, R и Sб O – точка пересечения отрезков PR и QS.
Докажите,что если AP : AB = DR : DC и AS : AD = BQ : BC, то и SO : SQ = AP : AB, PQ : PR = AS : ;AD.
Докажите неравенство: |x1 + ... + xn| ≤ |x1| + ... + |xn|, где x1,..., xn — произвольные числа.
Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что XA·BC = XB·AC = XC·AB; I1, I2, I3 – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI1, BI2 и CI3 пересекаются в одной точке.
11 пионеров занимаются в пяти кружках дома культуры. Докажите, что найдутся два пионера А и В такие, что все кружки, которые посещает А, посещает и В.
Дан треугольник ABC площади 1. Из вершины B опущен перпендикуляр BM на биссектрису угла C. Найдите площадь треугольника AMC.
Дано 11 различных натуральных чисел, не больших 20. Докажите, что из них можно выбрать два числа, одно из которых делится на другое.
Прямая, проходящая через вершину B треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке K, а описанную окружность в точке M.
Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников AMK.
На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD построены внутренним образом правильные треугольники ABK, BCL, CDM и DAN. Докажите, что середины сторон этих треугольников (не являющихся сторонами квадрата) и середины отрезков KL, LM, MN и NK образуют правильный двенадцатиугольник.
Задачи Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 110]
Задача 57065 (#06.055B) |
|
|
а) Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF попарно
параллельны. Докажите, что этот шестиугольник вписанный тогда и только тогда,
когда его диагонали AD, BE и CF равны.
б) Докажите аналогичное утверждение для невыпуклого
(возможно, самопересекающегося) шестиугольника.
|
|
Решение |
Задача 57066 (#06.053) |
|
|
Число сторон многоугольника A1...An нечётно. Докажите, что:
а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он
правильный;
б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.
|
|
|
Решение |
Задача 57067 (#06.054) |
|
|
Все углы выпуклого многоугольника A1...An равны, и из некоторой его внутренней точки O все стороны видны под равными углами.
Докажите, что этот многоугольник правильный.
|
|
|
Решение |
Задача 57068 (#06.055) |
|
|
Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом и затем стянута так, чтобы узел стал плоским (см. рис.).
Докажите, что узел имеет форму правильного пятиугольника.
|
|
|
Решение |
Задача 57069 (#06.056) |
|
|
На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD построены внутренним образом правильные треугольники ABK, BCL, CDM и DAN. Докажите, что середины сторон этих треугольников (не являющихся сторонами квадрата) и середины отрезков KL, LM, MN и NK образуют правильный двенадцатиугольник.
|
|
Решение |
Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 110]
