Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 103]

Задача 57339 (#09.034)

Тема:

[

Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон

]

Сложность: 5
Классы: 9

В окружность радиуса R вписан многоугольник площади S, содержащий центр окружности, и на его сторонах выбрано по точке. Докажите, что периметр выпуклого многоугольника с вершинами в выбранных точках не меньше 2S/R.

Прислать комментарий Решение

Задача 57340 (#09.035)

Тема:

[

Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон

]

Сложность: 5
Классы: 9

Внутри выпуклого четырехугольника ABCD площади S взята точка O, причем AO² + BO² + CO² + DO² = 2S. Докажите, что тогда ABCD — квадрат и O — его центр.

Прислать комментарий Решение

Задача 57341 (#09.036)

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 3
Классы: 9

Точки M и N лежат на сторонах AB и AC треугольника ABC, причем AM = CN и AN = BM. Докажите, что площадь четырехугольника BMNC по крайней мере в три раза больше площади треугольника AMN.

Прислать комментарий Решение

Задача 57342 (#09.037)

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 3
Классы: 9

Площади треугольников ABC, A₁B₁C₁, A₂B₂C₂ равны S, S₁, S₂ соответственно, причем AB = A₁B₁ + A₂B₂, AC = A₁C₁ + A₂C₂, BC = B₁C₁ + B₂C₂. Докажите, что S $\leq$ 4 $\sqrt{S_1S_2}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57343 (#09.038)

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 3+
Классы: 9

ABCD — выпуклый четырехугольник площади S. Угол между прямыми AB и CD равен a, угол между AD и BC равен $\beta$ . Докажите, что

AB^.CD sin $\displaystyle \alpha$ + AD^.BC sin $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \leq$ 2S $\displaystyle \leq$ AB^.CD + AD^.BC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 103]