Выпуклые многогранники A и B не имеют общих точек. Многогранник A имеет ровно 2012 плоскостей симметрии. Каково наибольшее возможное количество плоскостей симметрии у фигуры, состоящей из A и B, если B имеет
  а) 2012,
  б) 2013 плоскостей симметрии?
  в) Каков будет ответ в пункте б), если плоскости симметрии заменить на оси симметрии?

   Решение

Несколько прямых делят плоскость на части. Докажите, что эти части можно раскрасить в 2 цвета так, что граничащие части будут иметь разный цвет.

   Решение

Площадь треугольника ABC равна 2. Найдите площадь сечения пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через середины рёбер AD , BD , CD .

   Решение

Про коэффициенты a, b, c и d двух квадратных трёхчленов  x² + bx + c  и  x² + ax + d  известно, что 0 < a < b < c < d.
Могут ли эти трёхчлены иметь общий корень?

   Решение

Найдите остаток от деления многочлена  P(x) = x⁸¹ + x²⁷ + x⁹ + x³ + x  на
  a)  x – 1;
  б)  x² – 1.

   Решение

В ребусе $\text{ТУР}+\text{ТУР}+\text{ТУР}+...+\text{ТУР}=\text{ТУРЛОМ}$ одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, разные буквы заменяют разные цифры. Часть одинаковых слагаемых мы заменили многоточием. Сколько всего может быть ТУРов, чтобы ребус имел решение? Найдите наименьшее и наибольшее количества.

   Решение

Решите уравнение:  x(x + 1) = 2014·2015.

   Решение

Докажите следующие формулы:

aⁿ⁺¹ – bⁿ⁺¹ = (a – b)(aⁿ + a^n–1b + ... + bⁿ);

a²ⁿ⁺¹ + b²ⁿ⁺¹ = (a + b)(a²ⁿ – a^2n–1b + a^2n–2b² – ... + b²ⁿ).

   Решение

Докажите неравенство: |x₁ + ... + x_n| ≤ |x₁| + ... + |x_n|, где x₁,..., x_n — произвольные числа.

   Решение

Сумма трёх положительных чисел равна 6. Докажите, что сумма их квадратов не меньше 12.

   Решение

В треугольнике DEF проведена медиана DK. Найдите углы треугольника, если  ∠KDE = 70°,  ∠DKF = 140°.

   Решение

Докажите, что если в остроугольном треугольнике  h_a = l_b = m_c, то этот треугольник равносторонний.

   Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 100]      

ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Докажите, что  m_a² + m_b² > 29r².

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для остроугольного треугольника

+ + 1 + .

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для остроугольного треугольника

+ + + + .

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если треугольник не тупоугольный, то  m_a + m_b + m_c 4R.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если в остроугольном треугольнике  h_a = l_b = m_c, то этот треугольник равносторонний.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 100]